2.[解析]本题是双动点问题，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。

[答案]解：(1)连接．

与相切于点，

，即．

，，

．

(2)过点作，垂足为．

点的运动速度为5cm/s，点的运动速度为4cm/s，运动时间为s，

，．

，，．

，．

．

，

四边形为矩形，．

的半径为6，

时，直线与相切．

①当运动到如图1所示的位置．

．

由，得．解得．

②当运动到如图2所示的位置．

．

由，得．

解得．

所以，当为0.5s或3.5s时直线与相切．

1.[解析]要想证明△ABC与△SBR相似，只要证明其中的两个角相等即可；要想得到TS=PA，只要证明△TPS≌△PFA即可；对于(3)，需要建立正方形PTEF的面积y与AP的函数关系式，利用函数的极值来解决.

[答案]解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS＝∠BRS＝45°.

在△ABC与△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角，

∴△ABC∽△SBR..

(2)线段TS的长度与PA相等.

∵四边形PTEF是正方形，

∴PF＝PT，∠SPT+∠FPA＝180°－∠TPF＝90°,

在Rt△PFA中，∠PFA +∠FPA＝90°,

∴∠PFA＝∠TPS，

∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS.

当点P运动到使得T与R重合时，

这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA＝TS.

由以上可知，线段ST的长度与PA相等.

(3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，

∴PS＝BS, ∴BS+PS+PA＝1, ∴PS＝.

设PA的长为x，易知AF=PS，

则y＝PF＝PA+PS,得y＝x+(),

即y＝，(5分)

根据二次函数的性质，当x＝时，y有最小值为.

如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA＝TS为最大.

易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，

∴PA＝.

如图3，当P与A重合时，得x＝0.

∴x的取值范围是0≤x≤.

∴①当x的值由0增大到时，y的值由减小到

∴②当x的值由增大到时，y的值由增大到

∵≤≤，∴在点P的运动过程中，

正方形PTEF面积y的最小值是，y的最大值是.

8.(·苏州)课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当△AOB旋转90°时，得到∠A₁OB₁．已知A(4，2)，B(3，0)．

(1)△A₁OB₁的面积是　 　　　　；A₁点的坐标为(　　 ，　　 )；B₁点的坐标为(　　 ，　　 )；

(2)课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C(2，1)逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交x轴于E．此时A′，O′和B′的坐标分别为(1，3)，(3，-1)和(3，2)，且O′B′经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD的面积)最小，求四边形CEBD的面积．

(3)在(2)的条件下，△AOB外接圆的半径等于　　 ．

第9课时　 动态型问题

7.(·福州)如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：

(1)当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

(2)设△BPQ的面积为S(cm²)，求S与t的函数关系式；

(3)作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

6.(苏州)如图，在等腰梯形中，，，，．动点从点出发沿以每秒1个单位的速度向终点运动，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．两点同时出发，当点到达点时，点随之停止运动．

(1)梯形的面积等于　　　　　 ；

(2)当时，P点离开D点的时间等于　　 秒；

(3)当三点构成直角三角形时，点离开点多少时间？

5.(·白银市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4，3)．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t(秒)．

(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；

　(2) 当t=　　　 秒或　 　　秒时，MN=AC；

(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

　(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

类型之三　 开放性动态题

开放性问题的条件或结论不给出，即条件开放或结论开放，需要我们充分利用自己的想像，大胆猜测，发现问题的结论，寻找解决问题的方法，正确选择解题思路。解答开放性问题的思维方法及途径是多样的，无常规思维模式。开放性问题的条件、结论和方法不是唯一的，要对问题充分理解，分析条件引出结论，达到完善求解的目的。

4．(·湖州市) 已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点(不与重合)，过点的反比例函数的图象与边交于点．

(1)求证：与的面积相等；

(2)记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？

(3)请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

3..(·河南)如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是(-2，0)．

(1)试说明△ABC是等腰三角形；

(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

① 求S与t的函数关系式；

② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

2..(·南京市)如图，已知的半径为6cm，射线经过点，，射线与相切于点．两点同时从点出发，点以5cm/s的速度沿射线方向运动，点以4cm/s的速度沿射线方向运动．设运动时间为s．

(1)求的长；

(2)当为何值时，直线与相切？

类型之二　 存在性动态题

存在性动态题运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断.

1.(·宜昌市)如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB(含端点)上的动点，过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上.

(1)△ABC与△SBR是否相似？说明理由；

(2)请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；

(3)设边AB=1，当P在边AB(含端点)上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.