学生练习：P122练习 1、2、3

3．例一 (P120 例一)：用公式1求

2．推导公式2

　　　　　 用上述公式要求必须具备三个条件：

　　　　　 但　 代入公式1即得：

　　　　　　 此公式要求必须具备三个条件： (有时比较有用)

　　　 总之：两个公式都表明要求必须已知中三个

1．证明公式1：

　　　　　 　证明：　 　　①

　　　　　　　　　 　②

　　　　　　　 ①+②：

　　　　　　　　　 ∵

　　　　　　　　　 ∴　 由此得：

　　　　 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。

　　　　　 　　1+2+3+…+100的故事

　　 故事结束：归结为 1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和

2．高斯的解法是：前100项和

　 　　　　　　　　　　　　　　　　即

2．基本的解题方法：

⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法)；

⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；

⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；

⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．

1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：

⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；

⑵某些元素要求连排(即必须相邻)；

⑶某些元素要求分离(即不能相邻)；

例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

　　　　 解：问题可以看作：7个元素的全排列--＝5040

⑵ 7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？

　　　　 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040

⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

　　 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列--=720

⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

　　 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有种；第二步 余下的5名同学进行全排列有种　 则共有=240种排列方法

⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

　　　　 解法一(直接法)：第一步 从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有种方法　 所以一共有＝2400种排列方法．

　　　解法二：(排除法)若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有－+=2400种．

　　 小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．

例2 ： 7位同学站成一排．

　 　　⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝1440种．

⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

　 解：方法同上，一共有＝720种．

⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

　　　 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝960种方法．

解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，

若丙站在排头或排尾有2种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法．

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，

　再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有＝960种方法．

小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”(先捆后松)．

例3： 7位同学站成一排．

⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

解法一：(排除法)

解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有种方法，所以一共有种方法．

⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

　　　　 解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有＝1440种．

小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)．

4．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．

3．全排列、阶乘的意义；规定 0!=1