8.(2009广东-理2)设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，(　　 )

A．8　　　　B．6　　　　C．4　　　　D．2

4.　　　　　　 (2009江西-理1)若复数为纯虚数，则实数的值为(　　 )

　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．或

3.　　　　　　 　(2009海南、宁夏-理2) 复数(　　 )

A．0　　　　　　　　 B．2　 　　　　　　　　C．-2i　　　　　　　 D．2i

2.　　　　　　 (2009辽宁-理2)已知复数，那么=(　　 )

A．　　 B．　　 　C．　 　　D．

1.　　　　　　 　(2009重庆-理2)已知复数的实部为，虚部为2，则=(　　 )

A．　　　　　 　B．　　　　　　　 C．　 　　　　　 D．

9.复数的运算：

① 设，(、、、)是任意两个复数，那么它们的和、差为　　　　　

、时， ，，但忽略条件后，则不能成立．因此解决复数相等问题，先将复数变形为()的形式，也就是把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题．

[练习]　 ①(2005广东-理2)若，其中，为虚数单位，则 (　 )

A．0　　　　　　　 B．2　　　　　 　　C．　　　　　　　　 D．5　

②(2006湖北-理11)设为实数，且，则

　　　4　　

的平方根是　　　　　　 ．

[解析]设，其中，所以

解得或，故的平方根是．

[练习]的平方根是　 　　　　　．

(2007全国Ⅱ-理)设复数满足，则(　　 )

A　　　　　　　 B　　　　 　 C　　　　　　 D　

[解析]　，选C．

[点评]视为未知数，解关于的方程--是好招．

[练习] ① (2004辽宁-理4)设复数z满足,则︱1+z︱= (　 )

A． 0　　　　　　　 B．1　　　　　　 C．　　　 　　　D． 2

② (2006上海-理5)若复数同时满足－＝2，＝(为虚数单位)，则＝ 　　　　　　　　

(2008上海-文7)　 若是实系数方程的一个虚根，且，则　　 　　　　．

[解析]　设()，则方程的另一个根为,且

，由韦达定理，得：

所以

[点评]本题考查一元二次方程根的意义、共轭复数、复数的模等知识．

(2007上海-理12)已知，且(是虚数单位)是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是(　)

　　 A 　　　　　　　　　　　 B 　

C 　　　　　　　　　　　　 D 　

设关于的方程有实根，求锐角及这个实根．

[解析]设实数根为，则　，即

∵，，

∴

∴且，

又

∴

[点评]　这种解法是解这类方程的基本方法，利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想．

已知关于的方程有实根，则实数满足(　)

A．　　B．　 　C．　　 D．

(2009陕西-理2)已知z是纯虚数,是实数,那么z等于　　　　　 (　　 )

A． 2i　　　　　　　 B．i　　　　　　　　　 C．-i　　　　　　　 D．-2i　　　

[解析] 设(),代入　

由于其为实数，b= -2,　 故选D. .　　

[练习](2004广东14)已知复数z与 (z +2)²-8i 均是纯虚数,则 z = 　　－2i 　　.

(2003上海春) 复数(,为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(　 )

A．第一象限　 　　　B．第二象限　 　　　　C．第三象限　 　　　D．第四象限

[解析]，因为，所以不可能为正数，同时为负数，即不可能，同时，故对应的点不可能位于第一象限，选A．

[点评] 本题考查复数的几何意义及复数运算的知识，每一个复数在复平面内都有一个点与之对应．先将复数变形为()的形式，再根据所在的位置求解．

[练习]　　 ①(2007辽宁-理5)若，则复数在复平面内所对应的点在(　　 )

A　第一象限　　　　　　　 　 B　第二象限　　　　　 　　 C　第三象限　　　　 　 D　第四象限

②(2006北京)在复平面内，复数对应的点位于　 (　 )

A 第一象限　　　　 　 B．第二象限　　　 　　C．第三象限　　 　 D．第四象限

利用复数的三角形式

(2002新理)复数的值是 (　 )

A．-i　　　　 　　　B．i　　　　 　　 C． -1　　 　　　 D．1[解析]　．

抓结构特征，巧妙求解

(2004重庆)设复数，则z²-2z=(　 )

A． -3　　　　　　 B．3　 　　　　　C．-3i　　　　　　 D．3i

[解析]　∵，　∴，

∴ z²-2z=．

[练习]　①(2006广东)若复数满足方程，则(　 )

A.　　　　　 B. 　　　　　　　C. 　　　　D.

② (1993全国)当时, 的值等于(　　 )

A．1　　　　　　 　B．-1 　　　　　　　C．　　　　　 　 D．

利用常用结论，巧妙求解

(2004湖南)复数的值是 (　 )

A. 　　　　　　B. -　　　　　 C. 4　　　　　　 D. -4

[解析]．

[练习]　 ①(湖南)复数等于(　 )

A． 　 　　　　　B．　　　 　　　 C．　　　 　　　 D．

② (2005重庆) 复数的值是 (　 )

A．i 　　　　　　　B． -i　 　　　　　　C．2²⁰⁰⁵ 　　　　　　D．-2²⁰⁰⁵

③ (2005湖南)复数的值是 (　　 )

A．-1　　　　　　　 B．0 　　　　　　　　C．1　　　　　　　　 D．

　　　　　 ④(2005山东-理1)(　 )

A．　　　　　　 　 B．　　　　　 　 C．　　　　　　 D．

⑤　(2005湖北-理3)=　　　　　　 　　　　　． 　

　(2009湖北-理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为(　 )

A．　　　　 　　　　B．　　　　　 　　　C．　　　　　 　　D． .　

[解析]因为为实数，所以，故，则可以取1、26，共6种可能，所以.

[练习]　①　复数z+i在映射f下的象为·i,则-1+2i的原象为(　 )

A．2　　　　　　　　　 B．2-i　　　　 　　C．-2+i　 　　　　 D．-1+3i

②　若函数的反函数为，则(　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　 D．

③　若，化简：

　　 ④　 定义运算，若复数满足，则．

　

8.数系的扩充：

　　　 在复数集中，方程，当时的根为

　　　　　　　　　　　　　　　

7.复数的三种表示：

①　 代数形式--；

② 几何形式--复数可用点表示，向量复数；

③ 三角形式--，其中为复数的模；当时，叫做复数的复角．复数0的复角是任意的．

6．复数的模：

① 复数z＝a+bi的模：｜z｜＝．

② 复数模的几何意义： ，即点到原点的距离，一般地即为点到点的距离．

5.复平面：

点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.

实轴上的点都表示实数.除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

[警示]　　 虚轴上的点不都表示纯虚数.

复数与有序实数对是一一对应关系的.

复数复平面内的点