2．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求以BD₁为棱，B₁BD₁与C₁BD₁为面的二面角的度数．

1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．

3．讲评好练习．讲评一般安排在练习后进行，也可以在练习前或练习时．练习前的讲评，目的是唤起学生的注意，提醒学生避免出错起到前馈控制的作用；练习时的讲评，属于即时反馈，即学生练习，教师巡视，从中发现共性问题及时指出来，以引起学生的注意；更多的是练习后的讲评，如果采用题组练习，那么最常用的办法是一组练习完毕后教师讲评，再进行下一组练习，以此类推．

教师：由例1、例2和课堂练习，我们已经看到二面角的平面角有三个特征，这三个特征互相联系，客观存在，但在许多问题中却表现得含糊而冷漠，三个特征均藏而不露，在这种形势下，需认真探索．

学生：应探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景，有了“垂线段”，便可以定位．

教师：请大家研究下面的例题．

例3 　如图10，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F在AA₁上，且A₁F∶FA=1∶2，求平面B₁EF与底面A₁C₁所成的二面角大小的正切值．

分析：在给定的平面B₁EF与底面A₁C₁所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．

略解：如图10．

在面BB₁CC₁内，作EH⊥B₁C₁于H，连结HA₁，显然直线EF在底面A₁C₁的射影为HA₁．

延长EF，HA₁交于G，过G，B₁的直线为所求二面角的棱．

在平面A₁B₁C₁D₁内，作HK⊥GB₁于K，连EK，

则∠HKE为所求二面角的平面角．

在平面A₁B₁C₁D₁内，作B₁L⊥GH于L，利用Rt△GLB₁∽Rt△GKH，可求得KH．

又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

教师：有时我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．

例如我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．

略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E于H，连FH．

显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．

则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．

过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．

所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小．

(练习课的一个重要特征是概括．解题重要的不是统计做了多少题目，而是是否掌握了一类题的实质，即有无形成基本的解题模式，只有真正掌握了一类问题的解题思路，才算掌握了解答这类题目的基本规律．当学生练习到一定程度就应不失时机地引导他们总结和概括出练习的基本经验和教训，获得有意义的练习成果)

例4 　已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．

求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．

解：因为　 AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．

所以　 AB∥平面CPD．

又　 P∈平面APB，且P∈平面CPD，

因此　 平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以　 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．

因为　 AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，

所以　 AB∥l．

过P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因为　 l∥AB∥CD，

因此　 PE⊥l，PF⊥l，

所以　 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因为　 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，

因为　 E，F分别是AB，CD的中点，

所以　 EF=BC=a．

在△EFP中，

小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．

我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．

作业

2．组织好练习．组织练习是“导练”的实质，“导练”就是有指导、有组织的练习过程．要通过一题多用、一题多变、一题多解等使学生举一反三，从而提高练习的效果．有组织的练习还包括习题的临时增删、节奏的随时控制、要求的适时调整等．

1．设计好练习．设计好练习是成功练习的前提．如何设计好练习是一门很深的学问，要注意：围绕重点，精选习题；由易到难，呈现题组；形式灵活，题型多变．

2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？

分析：这道题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？

从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．

本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．

如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．

OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征(1)，(2)，可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．

同理V，A，C，D共面．

所以这道题的正确答案应该是5个面．

(这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题，或边练边评，或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评，达到练习的目的．其间要以学生“练”为主，教师“评”为辅)

为了提高“导练”质量，教师要力求解决好三个问题：

1．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E为BC的中点，求面B₁D₁E与面BB₁C₁C所成的二面角的大小的正切值．

练习1的环境背景表明，面B₁D₁E与面BB₁C₁C构成两个二面角，由特征(2)可知，这两个二面角的大小必定互补．

为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C₁D₁会让我们眼睛一亮，我们只须由C₁(或D₁)作B₁E的垂线交B₁E于O，然后连结OD₁(或OC₁)即得面D₁B₁E与面CC₁B₁E所成二面角的平面角∠C₁OD₁，

2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．

教学重点和难点

重点：使学生能够作出二面角的平面角；

难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角．

教学设计过程

重温二面角的平面角的定义．

(本节课设计的出发点：空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．这正是本节课要解决的问题．)

教师：二面角是怎样定义的？

学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角．

教师：二面角的平面角是怎样定义的？

学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

教师：请同学们看下图．

如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：

(1)过棱上任意一点，其平面角是唯一的；

(2)其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征(2)可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．

(3)体现出一完整的三垂线定理(或逆定理)的环境背影．

教师：请同学们对以上特征进行剖析．

学生：由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题．

教师：特征(1)表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背影互相沟通，给计算提供方便．

(上面的引入力争符合练习课教学的特点．练习是形成技能的重要途径，练习课主要是训练学生良好的数学技能，同时伴随着巩固知识，发展智能和培育情感．特别要注意做到第一，知识的激活．激活知识有两个目的，一是突出了知识中的重要因素；二是强化知识中的基本要素．第二，思维的调理．练习课成功的关键在于对学生思维激发的程度．学生跃跃欲试正是思维准备较好的体现．因此，准备阶段安排一些调理思维的习题，确保学生思维的启动和运作．请看下面两道例题．)

例1 　已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．

分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，

VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．(图2)

正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．

特征(2)指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．(如图3)

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．

例2 　矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．

如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．

由特征(2)可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．

另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，

通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征(2)从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．

特征(3)显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．(如图6)

由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．

课堂练习

1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；