4、若关于x的不等式x² + bx + c < 0 的解为-2<x<-，则不等式cx²-bx+1>0

　 的解为(　　 )

(A)x<或x>2　　　　　　　 (B)<x<2　　　

(C)-2<x<-　　　　　　　　 (D)x<-2或x>-

3、已知等差数列的前项和为

A.11　　　 B.16　　　　 C.20　　　　　　　 D.28

2、已知P：(x+3)²=0，Q：(x+3)² +y²=0,其中x,y∈R，则P是Q成立的(　　 )

(A)充分不必要条件　　　　　　　 (B)必要不充分条件　

(C)充分条件　　　　　　　　　　 (D)既非充分也非必要条件

1、函数y= 的定义域是(　　　 )

(A) {x|x≥1或x≤-2}　　　　　 (B){ x|-1≤x≤2}　

　(C) {x|x≥2或x≤-1}　　　　　　 (D){ x|-2≤x≤1}

9．求异面直线所成的角的方法：

几何法：(1)通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；(2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求

　向量法：用向量的夹角公式

10两条异面直线的公垂线、距离

和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线

理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度，叫做两条异面直线间的距离．

两条异面直线的公垂线有且只有一条

　 计算方法：①几何法；②向量法

题型讲解

例1　 A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角

(1)证明：用反证法

假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线

(2)解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角在Rt△EGF中，求得∠FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°

点评： ①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作(找)-证-算”注意，异面直线所成角的范围是(0，］

例2 长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=a，BC=b，AA₁=c，且a>b，求：

(1)下列异面直线之间的距离：AB与CC₁；AB与A₁C₁；AB与B₁C

(2)异面直线D₁B与AC所成角的余弦值

(1)解：BC为异面直线AB与CC₁的公垂线段，

故AB与CC₁的距离为b

AA₁为异面直线AB与A₁C₁的公垂线段，故AB与A₁C₁的距离为c

过B作BE⊥B₁C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B₁C的公垂线，BE==，即AB与B₁C的距离为

(2)解法一：连结BD交AC于点O，取DD₁的中点F，连结OF、AF，则OF∥D₁B，∴∠AOF就是异面直线D₁B与AC所成的角

∵AO=，

OF= BD₁=，

AF=，

∴在△AOF中，

cos∠AOF==

解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG、D₁G，则AC∥BG，∴∠D₁BG(或其补角)为D₁B与AC所成的角

BD₁=，

BG=，

D₁G=，

在△D₁BG中，

cos∠D₁BG==－，

故所求的余弦值为

解法三：建立空间直角坐标系，写出坐标，用向量的夹角公式计算

例3 　设异面直线a与b所成的角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ(0°≤θ≤90°)的直线l有且仅有几条?

解：过点O作a₁∥a，b₁∥b，则相交直线a₁、b₁确定一平面αa₁与b₁夹角为50°或130°，设直线OA与a₁、b₁均为θ角，作AB⊥面α于点B，BC⊥a₁于点C，BD⊥b₁于点D，记∠AOB=θ₁，∠BOC=θ₂(θ₂=25°或65°)，则有cosθ=cosθ₁·cosθ₂因为0°≤θ₁≤90°，所以

0≤cosθ≤cosθ₂

当θ₂=25°时，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；

当θ₂=65°时，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°

故当θ<25°时，直线l不存在；当θ=25°时，直线l有且仅有1条；

当25°<θ<65°时，直线l有且仅有2条；

当θ=65°时，直线l有且仅有3条；

当65°<θ<90°时，直线l有且仅有4条；

当θ=90°时，直线l有且仅有1条

点评：异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角上述解答首先将问题转化为：求过点O与a₁、b₁均成θ角的直线的条数，进而通过讨论θ的范围去确定直线l的条数

例4　 如下图，设△ABC和△A₁B₁C₁的三对对应顶点的连线AA₁、BB₁、CC₁相交于一点O，且=== 试求的值

解：依题意，因为AA₁、BB₁、CC₁相交于一点O，且==，

所以AB∥A₁B₁，AC∥A₁C₁，BC∥B₁C₁

由平移角定理得

∠BAC=∠B₁A₁C₁，∠ABC=∠A₁B₁C₁，

△　　 ABC∽△A₁B₁C₁，

△　　 所以=()²=

点评：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题

例5 　⑴已知水平平面内的两条相交直线a, b所成的角为，如果将角的平分线绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的处，且与两条直线a,b都成角，则与的大小关系是(　 )

A 或　　 B >或 <　 C > 　D <

⑵已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有 (　 )

A 1条　　　　 B 2条　　　　 C 3条　　　　　 D 4条

⑶异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60°,则的取值可能是(　 )

A 30°　　　 B 50°　　　 C 60°　　　 D 90°

⑷一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有　 　　条棱，　　 个面；②如果它是棱柱，那么它有 　　　条棱 　　　个面

分析与解答:

⑴ 如图所示,

易知直线上点A在平面上的射影是点B,过点B作BC⊥b,

则AC⊥b　 在Rt△OBC和Rt△OAC中，,=显然，AC>BC,

∴tan> tan,又、(0，，∴＞故选C

⑵如图所示，

过空间一点O分别作∥a,∥b, 则构成角或 70

所求直线即为过点O且与都成60角的直线

当=110，∴，∴将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都60角的直线两条

当=70时，同理

故 过点 O与a,b都成60角的直线有4条，从而选　 D　

⑶过点O分别作∥a,∥b,则过点O有三条直线与　　　

a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与 所成角都为60，

如图所示，

则=60， ，此时过点 O有三条直线与所成角都为60其中一条正是角的平分线

⑷①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面

点评： 本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题

小结：

1本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角

2证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形

学生练习

1若a，b是异面直线，则只需具备的条件是

Aa平面α，b平面α，a与b不平行

Ba平面α，b平面β，α∩β=l，a与b无公共点

Ca∥直线c，b∩c=A，b与a不相交

Da⊥平面α，b 是α的一条斜线

答案：C

2如下图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有

A1条　 　 　B2条　 C3条　 　 D4条

解析：在a、b所确定的平面内有一条，平面外有两条

答案：C

3如下图，正四面体S-ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是

A　 　 B　　 C　 　　　 D

解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DE∥SA，

∴∠BDE就是BD与SA所成的角设SA=a，

则BD=BE= a，DE= a，

cos∠BDE==

答案：C

4正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a， 那么

(1)哪些棱所在直线与直线BA₁成异面直线:__________

(2)直线BA₁与CC₁所成角的大小为________

(3)直线BA₁与B₁C所成角的大小为________

(4)异面直线BC与AA₁的距离为________

(5)异面直线BA₁与CC₁的距离是________

答案：(1)D₁C₁、D₁D、C₁C、C₁B₁、DC、AD　

(2)45°　 (3)60°　 (4)a　 (5)a

5正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E₁D与BC₁所成的角是__________

解析：连结FE₁、FD，则由正六棱柱相关性质可得FE₁∥BC₁，

在△EFD中，EF=ED=1，∠FED=120°，

∴FD==

在△EFE₁和△EE₁D中，易得E₁F=E₁D==，

∴△E₁FD是等边三角形，∠FE₁D=60°

而∠FE₁D即为E₁D与BC₁所成的角

答案：60°

6两条相交直线l、m都在平面α内且都不在平面β内命题甲：l和m中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的

A充分不必要条件　 　　　　　　　　　 B必要不充分条件

C充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　 D非充分非必要条件

解析：若l和m中至少有一条与β相交，不妨设l∩β=A，则由于lα，∴A∈α而A∈β，∴α与β相交反之，若α∩β=a，如果l和m都不与β相交，由于它们都不在平面β内，

∴l∥β且m∥β∴l∥a且m∥a，进而得到l∥m，与已知l、m是相交直线矛盾因此l和m中至少有一条与β相交

答案：C

7在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于(　 )

A 　　　　 B 　　　　 C 　　　　　　 D

解法一：取面CC₁D₁D的中心为H，连结FH、D₁H在△FHD₁中，

FD₁=，FH=，D₁H=

由余弦定理，得∠D₁FH的余弦值为

解法二：取BC的中点G连结GC₁∥FD₁，再取GC的中点H，连结HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角

在△OEH中，OE=，HE=，OH=

由余弦定理，可得cos∠OEH=

答案：B

8四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于___________

解析：取AD的中点G，连结EG、FG，易知EG=1，FG=

由EF⊥AB及GF∥AB知EF⊥FG

在Rt△EFG中，求得∠GEF=30°，即为EF与CD所成的角

答案：30°

9在正四棱锥P-ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_______(结果用反三角函数值表示)

答案：arctan2

10设不全等的△ABC与△A₁B₁C₁不在同一平面内，且AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，CA∥C₁A₁

求证：AA₁、BB₁、CC₁三线共点

证明：不妨设AB≠A₁B₁，AA₁∩BB₁=S，∵BC∥B₁C₁，∴BB₁面BCC₁B₁，S∈面BBC₁B₁同理，S∈面ACC₁A₁∴S∈CC₁，即AA₁、BB₁、CC₁三线共点于S

11在三棱锥A-BCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=a，求AD与BC所成的角

解：取AC的中点M，连结ME、MF，则ME∥BC，MF∥AD，所以∠EMF(或其补角)是直线AD与BC所成的角在△EMF中，ME=BC=a，MF=AD=a，EF=a，cos∠EMF==－，∠EMF=120°，因此异面直线AD与BC所成的角为60°

12在三棱锥P-ABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分别是PC和AB上的点且PE∶EC=AF∶FB=3∶2

(1)求证：PA⊥BC；

(2)设EF与PA、BC所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°

证明：(1)取BC的中点D，连结AD、PD

则BC⊥平面ADP，AP平面ADP，∴AP⊥BC

(2)在AC上取点G，使AG∶GC=3∶2，连结EG、FG，则EG∥PA，FG∥BC，从而∠EGF为PA与BC所成的角，由(1)知∠EGF=90°，

而∠GEF、∠GFE分别是EF与PA、EF与BC所成的角α、β，

∴α+β=90°

13如下图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角

解：取BC的中点E，连结EN、EM，

∴∠MEN是异面直线AC与BD所成的角或其补角

在△EMN中，EN==3，EM==5，MN=7，cos∠MEN=－，∴∠MEN=120°

∴异面直线AC与BD所成的角是60°

课前后备注 　

8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作．

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角)．为了简便，点通常取在异面直线的一条上

异面直线所成的角的范围：

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

推理模式：与是异面直线

随着社会的发展，事物的变更，网络时代的迅速到来，很多新词语应运而生。如：偶、山寨、菜鸟、果酱、稀饭、恐龙、晒工资、白骨精、骨灰级、宅男宅女、人肉搜索、嘻哈文化等等。这些词语有的是旧词新解，有的纯属新兴词汇。

对此现象，舆论莫衷一是。有人认为新词语不仅丰富了语言，也记录着社会生活的巨大变革；有人认为这是语言发展的悲哀，丑陋恶俗的语言多起来，势必给灿烂的汉语言留下“黑点”；还有人认为……

你是怎样看待这一现象的？请结合自己的体验与积累写一篇文章。可以写自己的经历、感受和见解，可以讲述身边的故事，也可以发表评论。

[注意]①角度自选，立意自定，题目自拟。②除诗歌外，文体不限。③不少于800字。④不得抄袭。

瑞安中学2007年级高三第一学期10月份考试