函数 　叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

　　　　　　　　　 注意：为什么要规定 a>0且a¹1：∵a<0时 a^x 不一定有意义

　　　　　　　　　　　　　 　a=0时，若x>0，a^x=0；若x<0，则a^x无意义

　　　　　　　　　　　　　 a=1时，y=1^x=1(常量)没有研究必要。

　　　　　　　　 为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a¹1。

4．在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，∠BAB₁=∠B₁A₁C₁=30°．求：(1)AB与A₁C₁所成的角的度数；(2)A₁A与CB₁所成的角的度数；(3)AB₁与A₁C₁所成的角的余弦．

例1 　在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=3，AA₁=4．求异面直线A₁B和AD₁所成的角的余弦．(如图1)

师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A₁B和AD₁所成的角是哪一个角？

生：因为CD₁∥A₁B，所以∠AD₁C即为A₁B与AD₁所成的角．

师：∠AD₁C在△AD₁C中，求出△AD₁C的三边，然后再用余弦定理求出∠AD₁C的余弦．

师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形．现在我们再来看例2．

例2 　在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，∠C₁BC=45°，∠B₁AB=60°．求AB₁与BC₁所成角的余弦．(如图2)

师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余弦定理．

生：因为BC₁∥AD₁，所以AB₁与BC₁所成的角即为∠D₁AB₁．根

师：现在我们来看例3．

例3 　已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B₁B的中点．求A₁M与C₁N所成的角的余弦．(如图3)(1992年高考题)

师：我们要求A₁M与C₁N所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法．在直观图中，根据条件我们如何把A₁M用两次平移的方法作出与C₁N所成的角？

生：取A₁B₁的中点E，连BE，由平面几何可知BE∥A₁M₁，再取EB₁的中点F，连FN由平面几何可知FN∥BE，所以NF∥A₁M．所以∠C₁NF即为A₁M与C₁N所成的角．

师：还可以用什么方法作出A₁M与C₁N所成的角？

生：当BE∥A₁M后，可取C₁C中点G，连BG，则BG∥C₁N，

师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例4．

例4　 在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC₁与BD所成的角的余弦．(如图4)

师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出AC₁与BD所成的角。

生：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C₁C的中点F，

定理，得

师：想一想第二个解法

生：取AC₁中点O₁，B₁B中点G．在△C₁O₁G中，∠C₁O₁G即

一可知：

师：想一想第三个解法．当然还是根据异面直线所成的角概念首先作出这个角．有时可根据题目的要求在长方体外作平行直线．

生：延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC₁即为AC₁与BD所成的角．(如图5)连EC₁，在

由余弦定理，得

所以∠EAC₁为钝角．

根据异面直线所成角的定义，AC₁与BD所成的角的余弦为

师：根据这一道题的三种解法，我们可以看出，当用异面直线所成的角的概念，作出所成的角，这时所作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角．(异面直线所成的角的邻补角)

今天就讲这四个例题，这四个例题都是要用余弦定理来求异面直线所成的角．

作业

补充题

3．在棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O是正方形ABCD的中心，E，F分别是AB，BC中点．求：(1)异面直线A₁D₁和CD的距离；(2)异面直线C1O和EF的距离．

师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？

生：余弦定理有两种表述的形式，即：

a²=b²+c²-2bccos A

b²=c²+a²-2cacos B

c²=a²+b²-2abcos C

第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求角．

师：在立体几何中我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边来求角．

在余弦定理的第二个形式中，我们知道b²+c²可以等于a²；也可以小于a²；也可以大于a²．那么，我们想当b²+c²=a²时，∠A等于多少度？为什么？

生：当b²+c²=a²时，由勾股定理的逆定理可知∠A=90°．

师：当b²+c²＞a²时，∠A应该是什么样的角呢？

生：因为cosA＞0，所以∠A应该是锐角．

师：当b²+c²＜a²时，∠A应该是什么样的角呢？

生：因为这时cosA＜0，所以∠A应该是钝角．

师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可．初步理解后应该记住、会用．现在明确提出当cosθ=0时，θ=90°，θ是直角；当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，θ是锐角当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°，θ是钝角．下面请同学们回答下列问题：

生：θ等于60°， 等于120°．

师：这时θ和 是什么关系？

生：θ和 是互为补角．

师：再回答下列问题：

生：θ₁等于45°， ₁等于135°，θ₁+ ₁=180°；θ₂等于30°， ₂=150°，θ₂+ ₂=180°．

师：一般说来，当cosθ=-cos 时，角θ与角 是什么关系？

生：角θ与角 是互补的两个角．即一个为锐角，一个

为钝角，且θ+ =180°．

(关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学生有所理解即可)

3.下列5个命题中正确的是　　　　　　

①对于实数p,q和向量,若p=q则p=q②对于向量与，若||=||则=③对于两个单位向量与，若|+|=2则=④对于两个单位向量与，若k=，则=

2.下列命题中，正确命题的个数为( A )

①若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=||　 ③··=||　 ④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有+=+

A　　 1　 B　 2　　 C　 3　　 D　 4

1.下面5个命题中正确的有(　 )

①=·=·； ②·=·=；③·(+)=·+·；　　　　

　④·(·)=(·)·；　　 ⑤.

A..①②⑤　　　 B.①③⑤　　　 C. ②③④　　　　 D. ①③

例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜

证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜

(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜+｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，

且||=2，||=1，| |=3，用与表示　 　

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B(0，1)，C(-3，0)，设A(x，y)，则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A(1，-)，也就是=　 －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3

例3.下面5个命题：①|·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，则·=·　 ④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是(　 )

A①②⑤　 B ③④　 C①③　 D②④⑤

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直

8. 数量积(点乘或内积)的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”