2. 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)。A球的质量为m₁， B球的质量为m₂。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v₀。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m₁，m₂，R与v₀应满足关系式是。

[错解]依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N1为向心力，则有

B球在最高点时，圆管对它的作用力N₂为m₂的向心力，方向向下，则有

因为m₂由最高点到最低点机械能守恒，则有

[错解原因]错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程。没有做受力分析，导致漏掉重力，表面上看分析出了N₁=N₂，但实际并没有真正明白为什么圆管给m₂向下的力。总之从根本上看还是解决力学问题的基本功受力分析不过关。

[分析解答]首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N₁，此时两球对圆管的合力为零，m₂必受圆管向下的弹力N₂，且N₁=N₂。

据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有

同理m₂在最高点有

m₂球由最高点到最低点机械能守恒

[评析]比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。

复习指导：①回归课本夯实基础，仔细看书把书本中的知识点掌握到位

　　　　 　②练习为主提升技能，做各种类型的习题，在做题中强化知识

　　　　　 ③整理归纳举一反三，对易错知识点、易错题反复巩固

1. 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则(　　 )

A．根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍。

D．根据上述选项B和C给出的公式，可知卫星运动的线速度将减

[错解]选择A，B，C

所以选择A，B，C正确。

[错解分析]A，B，C中的三个公式确实是正确的，但使用过程中A，

[分析解答]正确选项为C，D。

A选项中线速度与半径成正比是在角速度一定的情况下。而r变化时，角速度也变。所以此选项不正确。同理B选项也是如此，F∝是在v一定时，但此时v变化，故B选项错。而C选项中G，M，m都是恒量，所以F∝

[评析]物理公式反映物理规律，不理解死记硬背经常会出错。使用中应理解记忆。知道使用条件，且知道来拢去脉。

卫星绕地球运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，由此将

根据以上式子得出

6. 在地球表面附近发射卫星，当卫星的速度超过某一速度时，卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运行，这个速度叫做第二宇宙速度．规定物体在无限远处万有引力势能E_P=0，则物体的万有引力势能可表示为，r为物体离地心的距离．设地球半径为r₀，地球表面重力加速度为g₀，忽略空气阻力的影响，试根据所学的知识，推导第二宇宙速度的表达式(用r₀、 g₀表示)

点拨：天体或航天器能量问题。

卫星从发射后到脱离地球引力的过程中机械能守恒．设卫星以v₀的速度从地面附近发射后恰能脱离地球的引力，则其在地面附近时的能量为：

　　 　　　　　　 (2分)

由题意知 E₀ =0 　　　　　　　(2分)

即　 　　　　　　 (4分)

又因为在地球表面时，物体的重力等于万有引力，有：

　　　 　　　　　　　 (4分)

解得第二宇宙速度v₀满足： 　　　　 (4分)

5. 2007年10月24日，我国发射了第一颗探月卫星--“嫦娥一号” ，使“嫦娥奔月”这一古老的神话变成了现实。嫦娥一号发射后先绕地球做圆周运动，经多次变轨，最终进入距月面h=200 公里的圆形工作轨道，开始进行科学探测活动．设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( 　　　)

A．嫦娥一号绕月球运行的周期为　 　

B．由题目条件可知月球的平均密度为

C．嫦娥一号在工作轨道上的绕行速度为

D．在嫦娥一号的工作轨道处的重力加速度为

点拨：万有引力定律及应用。

和可知：

,A、C错，D正确。

由得，

4. 如图所示，半径R=0.80m的光滑圆弧轨道竖直固定，过最低点的半径OC处于竖直位置．其右方有底面半径r=0.2m的转筒，转筒顶端与C等高，下部有一小孔，距顶端h=0.8m．转筒的轴线与圆弧轨道在同一竖直平面内，开始时小孔也在这一平面内的图示位置．今让一质量m=0.1kg的小物块自A点由静止开始下落后打在圆弧轨道上的B点，但未反弹，在瞬问碰撞过程中，小物块沿半径方向的分速度立刻减为O，而沿切线方向的分速度不变．此后，小物块沿圆弧轨道滑下，到达C点时触动光电装置，使转简立刻以某一角速度匀速转动起来，且小物块最终正好进入小孔．已知A、B到圆心O的距离均为R，与水平方向的夹角均为θ=30°，不计空气阻力，g取l0m/s²．求：

(1)小物块到达C点时对轨道的压力大小　F_C；

(2)转筒轴线距C点的距离L；

(3)转筒转动的角速度ω.

点拨：多物体多运动组合问题

(1)由题意可知，ABO为等边三角形，则AB间距离为R，小物块从A到B做自由落体运动，根据运动学公式有　　 (2分)

　　　　 　　　　　　　　 　　　　(2分)

　　　　 从B到C，只有重力做功，据机械能守恒定律有

　　　　 　　　　 (2分)

　　　　 在C点，根据牛顿第二定律有 (2分)

　　　　 代入数据解得　　　 (1分)

　　　　 据牛顿第三定律可知小物块到达C点时对轨道的压力F_C=3.5N(1分)

　 (2)滑块从C点到进入小孔的时间：(1分)

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

　　　　 　　　　　 (1分)

　 (3)在小球平抛的时间内，圆桶必须恰好转整数转，小球才能钻入小孔；

　　　　 即……)　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

　　　　 ……)　　　　　　　　　　　　 (2分)

3. 如图所示，有一水平放置的绝缘光滑圆槽，圆半径为R，处在一水平向右且与圆槽直径AB平行的匀强电场中，场强为E．圆槽内有一质量为m，带电量为+q的小球作圆周运动，运动到A点时速度大小为v，则到达B点时小球的向心加速度大小为__________________；小球做完整的圆周运动最难通过图中的_____________点。

点拨：竖直平面内的圆周运动问题。

由动能定理：

解得：

因为小球在水平面内通过A点的速度最小，因此通过A点最困难。

2. 在大风的情况下，一小球自A点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图11所示(小球的运动可看作竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的初速YC为零的匀加速直线运动的合运动)。小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上，M点为轨迹的最高点。若风力的大小恒定、方向水平向右，小球抛出时的动能为4J，在M点时它的动能为2J，不计其他的阻力。求：

(1)小球的水平位移S₁与S₂的比值。

(2)小球所受风力F与重力G的比值。(结果可用根式表示)

(3)小球落回到B点时的动能E_KB-

点拨：平抛(或类平抛问题)

(1)小球在竖直方向上做竖直上抛运动，故从A点至M点和从M点至B点的时间t相等，小球在水平方向上做初速为零的匀加速运动，设加速度为a，则

　　 　　　所以

　 (2)小球从A点至M点，水平方向据动量定理F·t=mv_M－0

竖直方向据动量定理　 －Gt=0－mv_A

另据题意　　 　，联立式解得

　 (3)小球在水平方向上　

动能

针对典型精析的例题题型，训练以下习题。

1. 如图甲所示，在一端封闭、长约lm的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1s上升的距离都是10cm，玻璃管向右匀加速平移，每1s通过的水平位移依次是2.5cm、7.5cm、12.5cm、17.5cm．图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t=0时蜡块位于坐标原点．取重力加速度g=10m/s²

(1)请在图乙中画出蜡块4s内的轨迹；

(2)求出玻璃管向右平移的加速度；

(3)求t=2s时蜡块的速度v．

点拨：运动的合成与分解问题。

(1)如图　(4分)

(2)Δx=at² ①(2分)

a= ②(2分)

(3)v_y=　 ③(1分)

v_x=at=0.1m/s　　　　 ④(1分)

v=　⑤(2分

2.　　　 要注意库仑力始终与运动方向垂直，不做功。

题型4.(万有引力定律及应用)图示是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”过程简图．“嫦娥一号”进入月球轨道后，在距离月球表面高为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动．

(1)若已知月球半径为R_月，月球表面的重力加速度为g_月，则“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为多少？

(2)若已知R_月=R_地，g_月=g_地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？

解析：(1)设“嫦娥一号”环绕月球运行的周期是T，根据牛顿第二定律得

G= mg_月 　(2分)

G= m(R_月+h)(2分)

解得T=(2分)

(2)对于靠近天体表面的行星或卫星有mg=，v=(2分)

由v=知，=(1分)

将R_月=R_地，g_月=g_地代入计算，可知(≈0.2)(2分)

即近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的(0.2)倍．

规律总结：在利用万有引力定律解决天体运动的有关问题是，通常把天体运动看成匀速圆周运动，其需要的向心力就是天体之间相互作用的万有引力提供。

即

题型5.(卫星与航天问题)如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点．已知A、B、C绕地心运动的周期相同．相对于地心，下列说法中不正确的是

A．物体A和卫星C具有相同大小的加速度

C．可能出现：在每天的某一时刻卫星B在A的正上方

D．卫星B在P点的运行加速度大小与卫星C的运行加速度大小相等

解析：A、C两者周期相同，转动角速度 相同，由可知A错；由可知，，B正确；因为物体A随地球自转，而B物体转动周期与A相同，当B物体经过地心与A连线与椭圆轨道的交点是，就会看到B在A的正上方，C对；由可知，，D正确。

题型6.(天体与航天器的能量问题)重力势能E_P＝mgh实际上是万有引力势能在地面附近的近似表达式，其更精确的表达式为E_P＝－GMm/r，式中G为万有引力恒量，M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心的距离，并以无限远处引力势能为零 现有一质量为m的地球卫星，在离地面高度为H处绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球质量未知，试求：

(1)卫星做匀速圆周运动的线速度；

(2)卫星的引力势能；

(3)卫星的机械能；

(4)若要使卫星能依靠惯性飞离地球(飞到引力势能为零的地方)，则卫星至少要具有多大的初速度？

解析：(1)由牛顿运动定律： (2分)

　得：(1分)

⑵由引力势能的表达式：(2分)

⑶卫星的机械能应该是卫星的动能和势能之和，即

得(3分)

(1分)

⑷由机械能守恒定律，对地球与卫星组成的系统，在地球表面的机械能与飞到无限远处的机械能相等。设初速度至少应为v

，(2分)

解得：(1分)

规律总结：在卫星和地球组成的系统内，机械能是守恒的，卫星的动能可通过匀速圆周运动的线速度来求，引力势能在选择了无穷远处为零势能点后，可以用 来求，机械能为两者之和。

1.　　　 在处理竖直平面内的圆周运动问题时，一般要用动能定理建立最高点、最低点的速度关系。