5.将参数方程化为普通方程为 .
4.已知点P为椭圆在第一象限部分上的点,则的最大值等于 .
3.直线被圆截得的弦长为______________.
2.已知曲线的参数方程是(为参数),则普通方程为 .
1.若直线的参数方程为,则直线的斜率为______________.
20.(13分)已知抛物线的焦点为,过焦点且不平行于x轴的动直线交抛物线于,两点,抛物线在、两点处的切线交于点.
(Ⅰ)求证:,,三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)设直线交该抛物线于,两点,求四边形面积的最小值.
解:(Ⅰ)由已知,得,显然直线的斜率存在且不得0,
则可设直线的方程为(),,,
由消去,得,显然.
所以,. ………………………………………………2分
由,得,所以,
所以,直线的斜率为,
所以,直线的方程为,又,
所以,直线的方程为 ①。………………………………4分
同理,直线的方程为 ②。………………………………5分
②-①并据得点M的横坐标,
即,,三点的横坐标成等差数列。 …………………………………7分
(Ⅱ)由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)()。
所以,
则直线MF的方程为, …………………………………………8分
设C(x3,y3),D(x4,y4)
由消去,得,显然,
所以,。 …………………………………………9分
又
。…………10分
。……………………11分
因为,所以 ,
所以,,
当且仅当时,四边形面积的取到最小值。……………………13分
19.(14分)已知数列的前n项和为,,,等差数列中,,且,又、、成等比数列.
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
解:(Ⅰ)∵,,
∴,
∴,
∴,
∴ …………………………2分
而,∴
∴数列是以1为首项,3为公比的等比数列,
∴ …………………………4分
∴,
在等差数列中,∵,∴。
又因、、成等比数列,设等差数列的公差为d,
∴() ………………………………6分
解得d=-10,或d=2, ∵,∴舍去d=-10,取d=2, ∴b1=3,
∴bn=2n+1, ………………………………8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
①
②………………10分
① -②得
……………12分
,
∴ ………………………………………………………………14分
18.(14分)已知函数.
(Ⅰ)当a=0时,求函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x)在R上单调,求a的取值范围;
(Ⅲ)当时,求函数f(x)的极小值。
解:
(Ⅰ)当a=0时,,………………2分
,,
∴函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1),
即5ex-y-2e=0 …………………………………………………………4分
(Ⅱ),
考虑到恒成立且系数为正,
∴f(x)在R上单调等价于 恒成立.
∴(a+2)2-4(a+2)£0,
∴-2£a£2 , 即a 的取值范围是[-2,2],……………………8分
(若得a的取值范围是(-2,2),可扣1分)
(Ⅲ)当时, ,
………………………………………………………………10分
令,得,或x=1,
令,得,或x>1,
令,得. ………………………………12分
x,,f(x)的变化情况如下表
X |
|
|
|
1 |
) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
|
极大值 |
|
极小值 |
|
所以,函数f(x)的极小值为f(1)= ……………………………………14分
17.(13分)在某次抽奖活动中,一个口袋里装有5个白球和5个黑球,所有球除颜色外无任何不同,每次从中摸出2个球,观察颜色后放回,若为同色,则中奖。
(Ⅰ)求仅一次摸球中奖的概率;
(Ⅱ)求连续2次摸球,恰有一次不中奖的概率;
(Ⅲ)记连续3次摸球中奖的次数为,求的分布列。
解:(Ⅰ)设仅一次摸球中奖的概率为P1,则P1==……………………3分
(Ⅱ)设连续2次摸球(每次摸后放回),恰有一次不中奖的概率为P2,则
P2= ………………………………………………7分
(Ⅲ)的取值可以是0,1,2,3
=(1-)3=,
==,
= ==,
==
所以的分布列如下表
|
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
|
|
|
|
………………………………………………………13分
16.(14分)在正四棱柱中,E,F分别是的中点,G为上任一点,EC与底面ABCD所成角的正切值是4.
(Ⅰ)求证:AGEF;
(Ⅱ)确定点G的位置,使AG面CEF,并说明理由;
(Ⅲ)求二面角的余弦值。
解:∵是正四棱柱
∴ABCD是正方形,设其边长为2a,ÐECD是EC与底面所成的角。而ÐECD=ÐCEC1, ∴CC1=4EC1=4a.……………1分
以A为原点,AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的直角坐标系。
则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
A1(0,0,4a),B1(2a,0,4a),C1(2a,2a,4a),D1(0,2a,4a),
E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),设G(2a,2a,b)(0<b<4a)………………3分
(Ⅰ)=(2a,2a,b),=(a,-a,0),=2a2-2a2+0=0,
∴AGEF ……………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,使AG面CEF,只需AGCE,
只需=(2a,2a,b)×(-a,0,4a)=-2a2+4ab=0,
∴b=a,即CG=CC1时,AG面CEF。………………10分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当G(2a,2a, a)时,是平面CEF的一个法向量,
由题意可得,是平面CEC1的一个法向量,
设二面角的大小为q,
则cosq===,
二面角的余弦值为. …………………………14分
(运用综合法相应给分)
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