12．(本小题满分12分)

在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.

(1)求证：平面⊥平面；　 　　　　　

(2)求直线与平面所成的角的大小；

(3)求点到平面的距离.

方法二：

(1)同方法一；

(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则

。设所求角为，则，

　所以所求角的大小为。

(3)由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。

19(本小题满分12分)

如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互

相垂直，△是等腰直角三角形，

(I)求证：；

(II)设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

(III)求二面角的大小。

(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.

设AB=1,则AE=1，B(0，1，0)，D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因为FA=FE, ∠AEF = 45°,

所以∠AFE= 90°.

从而，.

所以,,.

,.

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.

　(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.

　　 M ( 0,0, 　),　　 P ( 1, ,0 ).

　　 从而=,

于是·=·=0

　　　 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

　　　 故PMM∥平面BCE.　　　　　　　　　　　　　 ………………………………8分

(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=(x,y,z).

　，　　　　　　　

　　　　　　　　 即

取y=1，则x=1，z=3。从而。

取平面ABD的一个法向量为。

。

故二面角F-BD-A的大小为arccos。……………………………………12分

11.(本小题满分12分)

　 如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE

(Ⅰ)证明：平面平面; 　　　　

(Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。

解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各

点的坐标分别是A(2,0,0,),　 .(2,0, ), D(-1, ),　 E(-1,0.0)

易知=(-3，，-)，=(0，-，0)，=(-3，，0)

设n=(x，y，z)是平面DE的一个法向量，则

解得

故可取n=(,0,-3，)于是　 　　

= 　　　　

由此即知，直线AD和平面DE所成的角是正弦为

18.(本小题满分12分)

如图4，在正三棱柱中，

D是的中点，点E在上，且。

(I)　　　　　　　　　　 证明平面平面

(II)　　　　　　　　 求直线和平面所成角的正弦值。　 　　　　　

解　 (I) 如图所示，由正三棱柱的性质知平面

又DE平面ABC，所以DEAA.

而DEAE。AAAE=A　 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。

解法2　 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设

A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是

A(0,-1,0)， B(，0，0)，　 C(0，1，)，　 D(，-，)。

易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，)　 　　　　　

设平面ABC的法向量为n=(x，y，z),则有

解得x=-y， z=-，

故可取n=(1，-，)。

所以，(n·)===。

由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。

10.(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分)

　　　　 如题(18)图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=，CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=，求：

　　　　 (Ⅰ)直线AB到平面EFCD的距离：　 　　

　　　 　(Ⅱ)二面角F-AD-E的平面角的正切值，

9．(本小题共14分)

如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.

(Ⅰ)求证：平面；　 　　　　　　　

(Ⅱ)当且E为PB的中点时，求AE与

平面PDB所成的角的大小.

[解法2]如图，以D为原点建立空间直角坐标系，

　　　　　　　 设

则，

(Ⅰ)∵，

∴，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

(Ⅱ)当且E为PB的中点时，，

　 设AC∩BD=O，连接OE，

　由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O，

　 ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

　 ∵，

∴，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.

19．(本小题满分12分，(Ⅰ)问5分，(Ⅱ)问7分)

如题(19)图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：

(Ⅰ)点到平面的距离；

(Ⅱ)二面角的大小．　 　　

(Ⅰ)如答(19)图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面

即点A在xoz平面上，因此

又

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面

yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.

(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.

ΔBCS为直角三角形 ,

知

设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B(0，2，2)，所以E(0，1，1) .

在CD上取点G，设G()，使GE⊥CD .

由故

　　 ①　

又点G在直线CD上，即，由=()，则有　②

联立①、②，解得G＝　,

故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为　 .

因为=，,所以

故所求的二面角的大小为 .

作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.

　 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得　

即与平面所成的角为

分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。

分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。

8.(本小题满分12分)

　　 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 　　　　　　　

(I)证明：

(II)设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。

分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。

17.解析：(1)在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标

依题意，得。

，

所以异面直线与所成角的余弦值为.A

(2)假设在线段上存在点，使得平面.

,

可设

又.

由平面，得即

故，此时.

经检验，当时，平面.

故线段上存在点，使得平面，此时.

7.(13分)

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，

，且MD=NB=1，E为BC的中点

(1)　　　 求异面直线NE与AM所成角的余弦值

(2)　　　 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

6.(本小题满分12分)

如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点　 。

(I)若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；

(II)用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 　　　　

　 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M(1,0,2),N(0,1,0),可得=(-1,1,2).　　　　　　　　　　　

又=(0，0，2)为平面DCEF的法向量，

可得cos(,)=·　　　　　　　　

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

cos·　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。

又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB//EN。

又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分