5.(2008宁夏理)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程选讲

已知曲线C₁：，曲线C₂：.

(1)指出C₁，C₂各是什么曲线，并说明C₁与C₂公共点的个数；

(2)若把C₁，C₂上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.写出

，的参数方程.与公共点的个数和C₁与C₂公共点的个数是否相同？说

明你的理由.

解(1)是圆，是直线．

的普通方程为，圆心，半径．

的普通方程为．

因为圆心到直线的距离为，

所以与只有一个公共点．

(2)压缩后的参数方程分别为

：(为参数)； ：(t为参数)．

化为普通方程为：：，：，

联立消元得，

其判别式，

所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．

4.(2008宁夏理)(10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，

过A作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.

(1)证明：OM·OP = OA²；

(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，

且交圆O于B点.过B点的切线

交直线ON于K.证明：∠OKM = 90°.

(1)证明 因为是圆的切线，所以．

又因为．在中，由射影定理知，

(2)证明 因为是圆的切线，．

同(1)，有，又，

所以，即．

又，

所以，故．

3．(2008广东理)(几何证明选讲选做题)已知是圆的切线，切点为，．

是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径　　　　　 ．

答案　

2．(2008广东理)(不等式选讲选做题)已知，若关于的方程

有实根，则的取值范围是　　　　　　 ．

答案　 　　　

1．(2008广东理)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方　

程分别为，，

则曲线与交点的极坐标为　　　　　 ．

答案 　　　

11、(09辽宁理24)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设函数。

(1)若解不等式；

(2)如果,,求 的取值范围。 　　　　

解(Ⅰ)当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.

由f(x)≥3得

︱x－1︳+︱x+1|≥3

(ⅰ)x≤－1时，不等式化为

1－x－1－x≥3 即－2x≥3

2005-2008年高考题

10、(09辽宁理23)(本小题满分10分)选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos()=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。

(1)写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； 　　　　

(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

解(Ⅰ)由

从而C的直角坐标方程为

(Ⅱ)M点的直角坐标为(2，0)

N点的直角坐标为

所以P点的直角坐标为

所以直线OP的极坐标方程为

9、(09辽宁理22)(本小题满分10分)选修4－1：几何证明讲 　　　　

已知 ABC　 中，AB=AC,　 D是 ABC外接圆劣弧上

的点(不与点A,C重合)，延长BD至E。

(1)求证：AD的延长线平分CDE；

(2)若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC　

外接圆的面积。 　　　　

解(Ⅰ)如图，设F为AD延长线上一点

∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC　 ∴∠ABC=∠ACB,

且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,

即AD的延长线平分∠CDE.

(Ⅱ)设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.

连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=15⁰, ∠ACB=75⁰,

∴∠OCH=60⁰.

设圆半径为r,则r+r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4。

8、(09江苏)A.选修4 - 1：几何证明选讲

如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.

求证：AB∥CD.

[解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，　　　

考查推理论证能力。满分10分。

证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。

B. 选修4 - 2：矩阵与变换

求矩阵的逆矩阵.

[解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。

解：设矩阵A的逆矩阵为则

即故

解得：，

从而A的逆矩阵为.

C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程

已知曲线C的参数方程为(为参数，).

求曲线C的普通方程。

[解析]本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。

解 因为所以

故曲线C的普通方程为：.

D. 选修4 - 5：不等式选讲

设≥＞0,求证：≥.

证明：

因为≥＞0,所以≥0，＞0，从而≥0，

即≥.

7、(09海南24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.

(1)将y表示成x的函数；

(2)要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？ 　　　　

解

(Ⅰ)

(Ⅱ)依题意，x满足

　{

解不等式组，其解集为[9，23]

所以