1．根据有机物的性质推断官能团的结构

⑴能发生加成反应的物质中含有C＝C或C≡C (－CHO及－C₆H₅一般只能与H₂发生加成反应)。

⑵能发生银镜反应或与新制的Cu(OH)₂悬浊液共热产生红色沉淀的物质必含有－CHO。既能氧化成羧酸又能还原成醇的是醛；常温下能溶解Cu(OH)₂的是羧酸；遇石蕊试液显红色的是羧酸。

⑶能与Na、Mg等活泼金属反应生成H₂的物质中含有－OH或－COOH。

⑷能与Na₂CO₃、NaHCO₃溶液作用生成CO₂的物质中含有－COOH。

⑸与少量Na₂CO₃溶液反应但无CO₂气体放出的是酚；

⑹与NaOH溶液反应的有酚、羧酸、酯或卤代烃；

⑺能氧化成羧酸的醇必含“─CH₂OH”的结构(能氧化的醇，羟基相“连”的碳原子上含有氢原子；能发生消去反应的醇，羟基相“邻”的碳原子上含有氢原子)；

⑻能水解的有机物有酯、卤代烃、二糖和多糖、肽键和蛋白质；

⑼能水解生成醇和羧酸的物质中含有酯基-COO-；

⑽与FeCl₃溶液反应显紫色的物质是酚；

⑾能发生消去反应的物质中含有或(X表示如卤原子)。

2.前n行共有个“合格数”数.

题目已经暗示：2010一定是“合格数”,设2010位于这张表的

第n行,那么：,即

最大值是63. 当n=63时,最后1个数是第个,其值为,这是个奇数.

据此,这一行应全为奇数.由此倒推6数,则第2010个“合格数”是3969-2×6=3957.

(三)抽丝剥茧,水落石出

[题3](2010四月.湖北黄冈等6市.10题)已知数列满足：

且,则图3中第5行所有数的和是(　　　　 )

A.62　　 　B.64　　　 C.32　　　　 D.34

[分析]求和的前提条件是找出这个递推数列的通项公式.可是由

递推关系找到求通项的规律,不是轻而易举的事,需要作逐步精密的探究.

如果不作,这道题很难.

[解析]第一步：递推关系式的右式,分子的次数高于分母的次数,

且分子为单项式,分母为多项式,不便于推理运算,因此考虑岸边取倒数.

由

第二步,由以上结果及,知是首项且公差d=1的等差数列.这个“过渡数列”的通项公式是：.

第三步,我们发现虽然不是等比数列,但其比值是一个简单的一次式.这种情况适合“叠乘法”求通项：

已知∴这个数列的通项公式为(n=1也适合)

于是“水落石出”,图5中第5行所有数的和是：

故选A.

(四)瞒天过海 暗云飞渡

[题4](武汉二月调考.15题)已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F,设P为第一象限内曲线上的任意一点，若∠PFA=λ∠FAP,则λ的值为

[分析]无论是选择题,还是填空题,都是无需讲道理的.既如此,解题人就可以省去一切繁文缛节,“不择手段”地去找出正确的答案.显然,本题的答案与非零实数a的取值范围无关,我们就可以挑选一个最便于计算的特殊位置解之.

[解析]如图4，取图形的特殊位置,使PF⊥AF.

由条件知有A(-a,0),F(2a,0).在双曲线方程中令x=2a,有：

.得P(2a,3a).

在直角三角形AFP中，∴∠PAF=45°，而

∠PFA=90°=2∠PAF.∴λ=2.

[说明](1)原题没有对点P在第一象限曲线上的位置

有所限制，这意味着λ的取值与点P的具体位置无关，也就是

λ是一个常数.这就是本题可以取特殊位值的根本原因.

(2)本题源于如下轨迹题：已知定点A(-a,0),F(2a,0).

一动点p(x,y)满足∠PFA=2∠PAF,求点P的轨迹.

[解析]如图4--2，设∠PAF=α，则∠PFA=2α.

.由正切的二倍角公式：

所求轨迹为双曲线的右支(不含右顶点).

(五)他山之石 可以攻玉

[题5](2010.武汉二月调考.10题). 过定点P(3,1)的直线交x轴正半轴于A, 交y轴正半轴于B,O为坐标原点，则△OAB周长的最小值为(　　　　　 )

A.8　　　　　　　 B.10　　　　　　　 C.12　　　　　　　　 D.

[分析1]本题是名副其实的“不小的小题”，不能用特殊值法解决，从形式上看，由于题中有坐标系为背景，是一道解析法求最值的问题.但是若真用解析几何的方法去做，却何其难也.假如思考方向不限于解析法，例如用三角法去做，却是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”

[解析1]如图1，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则ON=2,ON=1.

设∠OAB=∠NPB=α，则NB=2tonα,MA=cotα,AP=cscα,PB=2secα.

于是△OAB的周长

于是，故选B.

[说明]进一步研究：当且仅当，即时等式成立.此时.于是，满足OA+AB+OB=10.

[分析2]在华中师大数学通讯网站上，一位朋友利用几何思想给出了本题的绝妙解法，现介绍如下：

[解析2]首先证明：直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径.

如图2，设直角△OAB斜边上旁切圆的圆心为Q(a,a)

作QH⊥AB于H, QM⊥x轴于M，QN⊥y轴于N那么QM=QN=QH=a.由△QAM≌△QAP知QM=QH,且AM=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.

连PQ,则.令即

(舍)，或.于是所求△OAB的最小值为L=2a=10.

本题还可以用导数法求解,这里从略.

(六)避实击虚 反客为主

[题6](2007.北京海淀区高三数学期中试题8)：已知函数

.若实数使得有实根，则的最小值为()

(A)　　 (B)　　 (C)1　　 (D)2

[分析题目给定的是关于变量x的分式方程,就提论题地去做,无异于打一场耗时费力的攻坚战,希望渺茫.但若将方程中的辅助变量a,b“反客为主”,则在我们面前很快展现出一方可以自由驰骋的新天地.

[解解析]将改写为：.

令

在直角坐标系aOb中，设为直线(1)上一点，则.

又设原点到直线(1)的距离为，那么

再令上增，故

.也就是的最小值为，选(A)

(七)擒贼擒王 解题寻根

[题7](2005.湖北卷.6题)：在这四个函数中，

当恒成立的函数的个数是(　　　 )

A，0　　　　　　　　 B，1　　　　　　　　　 C，2　　　　　　 　　D，3

[分析]虽然是一道小题，可就是这一道不起眼的小题，那一届却难倒了一大批考生.即使是考后，有些教师为了解这道题也费了九牛二虎之力.为什么因为题中的四个函数，如果逐一探究，哪都不是省油的灯.为此人们不得不反思：擒贼擒王，解题寻根.这道题的根究竟在哪里呢？

原来除直线函数外，无论什么函数的图像都是曲线，而曲线只有“上凸”和“下凹”两种简单形式，这就是本题的“根”.

[解析]解本题应先掌握凸，凹函数的性质，

如图6-1，曲线在弦AB的上方，我们

称它是上凸的函 数，在曲线上任取两点

A，B，作

有　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　

那么

　　 ，如图 6-2，曲线在弦AB的下方，我们称它是下凹的函 数，同理，由，又说明下凹函数有性质：

以上结论与曲线所在象限无关，这是因为曲线经过平移后，不影响它们的数量关系.

题中的四个函数， 所以在(0，1)内，式子不是恒成立。又是下凹的，只有是上凸的，这就是说，在(0，1)内，使式子

恒成立的函数只有一个。∴选B。(参看图7，1-4)

。

后记：无独有偶，今年的北京卷也有类似的试题：对于函数，有如下结论：①　 ②　 ③　 ④

当时，上述结论中正确结论的序号是本题的正确答案是②③，它与湖北卷第6题有异曲同工之妙. ，

(八)惜墨如金 小题小作

[题8](2005.全国2卷.12题)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四

面体的高的最小值为(　　　　 )

A 　　　　　　　B 　　　　　　　C 　　　　　　　D

[说明]对于这一题，笔者从某参考资料上看到的答案十分繁杂，原文如下：

[解析]正四面体的高最小时，即四个小钢球与正四面体的各个面相切。首先求出一个小球的球心O₁到

另三个小球球心所在平面O₂O₃O₄的距离(如图7--1)。

O₁O₂=O₂O₃=O₃O₄=O₄O₁=2　 O₂E=　 O₂O=　 ∴OO₁=

然后再求出最上面的小球的球心O₁到正四面体的顶点A的距离AO₁，(如图7--2)

设AB=x　 则BO^，=　 ∴O^’A=　 ∴O₁A=-1=O₁B

∵AO^，⊥O^，B　　 ∴O₁B²=O^，O₁²+O^，B²　　　 ∴(-1)²=1²+

∵-+1=1+　 ∴-=0　 ∵x≠O　 ∴x=

∴O^，A=×=4　　　 ∴O₁A=3　　　　

由题意可知三个球面到正四面体底面的距离为1 ，∴正四面体的高

的最小值为 3+1+=4+

以上是正文。原文还有点评，这里从略。

就本题而言，以上的解法确实太繁了.在高考的有限时间里，花这么

大的代价是不值的.以下提出两种简略些的方法.

[解1]为求正四面体的高的最小值，只须解决三个问题：

其一，这4个钢球两两外切，其球心也连成一个正四面体，因为其棱长为2，所以它的高为2·=；

其二，这个球心四面体与原正四面体的两底面距离为1(等于球的半径)；

其三，这个球心四面体与原正四面体的两顶距离为3(等于球的半径的3倍)，因此 ，这个正四面体的高

的最小值为，∴选C。

[解2]我们不妨称原四面体为 “容器正四面体”,四个球心连成的四面体为“球心正四面体”.

“球心正四面体”与“容器正四面体”是同“中心”的相似体，相似中心就是这个共同的“中心”.

既然这个公共的中心以1∶3的比例分割了球心正四面体的高线，那么，还是这个公共的中心应以1∶3

的比例分割容器正四面体的高线.既然球心正四面体的高线向下面的底面延长了1个小球半径，那么，对应

的高线应该向上面的顶点延长3个小球半径.于是容器正四面体的高线比球心正四面体的高线共延长出4个

小球半径.因而C 是最合理的答案.

1.第n行的最后1个数字是；

20．如图所示，两个完全相同的球，重力大小均为G，两球与水平面间的动摩擦因数都为μ，一根轻绳两端固结在两个球上，在省得中点施加一个竖直向上的拉力F，当绳被拉紧后，两段绳的夹角为α，问当F至少为多大时，两球将会发生滑动?

19、在光滑水平面上有一圆柱形气缸，缸内用活塞密闭一定质量的理想气体，气缸和活塞质量均为m，且绝热气缸内壁光滑。若气缸的左边固定半径为R的圆周的光滑圆弧轨道，轨道最低的水平线与气缸内壁面等高，现让质量也是m的小球从与圆心等高处静止滑下。

　　 (1)求小球刚到达轨道最低点时对轨道的压力；

　　 (2)若小球与活塞碰后粘在一起，求理想气体增加的最大内能是多少？

18、如图所示,地面高h，其喷灌半径为R(喷水龙头的长度不计)，每秒喷水质量为m，所用水是水泵从地面下深H的井里抽取的，设水以相同的速率水平喷出，那么水泵的功率至少为_______.

17．一光电管的阴极用极限波长λ=5000×10m的钠制成. 用波长λ=3000×10-8 m的紫外线照射阴极, 光电管阳极A和阴极K之间的电势差U=2.1V, 光电流的饱和值I=0.56μA. (1) 求每秒内由K极发射的电子数.　

(2) 求电子到达A极时的最大动能.

(3) 如果电势差U不变, 而照射光的强度增到原值的3倍, 此时电子到达A极时的最大动能是多大? (普朗克常量h=6.63×10-34J·s, 电子电量e=1.60×10-19C, 真空中的光速c=3.00×108m/s)

专题预测：

16、如图所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度为L＝8m，传送带的皮带轮的半径均为R＝0.2m，传送带的上部距地面的高度为h＝0.45m，现有一个旅行包(视为质点)以v₀＝10m/s的初速度水平地滑上水平传送带．已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数为μ＝0.6．本题中g取10m/s²．试讨论下列问题：

　 ⑴若传送带静止，旅行包滑到B端时，人若没有及时取下，旅行包将从B端滑落．则包的落地点距B端的水平距离为多少？

⑵设皮带轮顺时针匀速转动，并设水平传送带长度仍为8m，旅行包滑上传送带的初速度恒为10m/s．当皮带轮的角速度ω值在什么范围内，旅行包落地点距B端的水平距离始终为⑴中所求的水平距离？若皮带轮的角速度ω₁=40 rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离又是多少？

⑶设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动，画出旅行包落地点距B端的水平距离s 随皮带轮的角速度ω变化的图象．

15、使原来不带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触，分开之后，小球获得电量q，今让小球与大球反复接触，在每次分开后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值Q，求小球可能获得的最大电量。

14、如图所示，在xoy平面内有许多电子(质量为m，电量为e)从坐标原点O不断地以相同大小的速度v。沿不同的方向射入第I象限，现加上一个垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴正方向运动，试求符合该条件的磁场的最小面积。