9、对于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6+4–2+1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S₂=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S₃、S₄，并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S_n=　　　　 n ^.2^n–1　　　　　 。(不必给出证明)

8、已知两个向量， .

(1)若t=1且，求实数x的值；

(2)对tÎR写出函数具备的性质.

解：(1)由已知得　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

解得，或　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

(2) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8分

具备的性质：

①偶函数；

②当即时，取得最小值(写出值域为也可)；

③单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增，在递减　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点(，)等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分

1、a₁、a₂、a₃、a₄、…a₉₉的“凯森和”= 　991　 　。

6、有穷数列{a_n}，S_n为其前n项和，定义为数列{a_n}的“凯森和”，

　　 如果有99项的数列a₁、a₂、a₃、…、a₉₉的“凯森和”为1000，则有100项的数列

5、(理)已知为正常数。

　 (1)可以证明：定理“若、，则(当且仅当时取等号)”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论(无需证明)；

　 (2)若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性(无需证明)；

　 (3)对满足(2)的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

解：(1)若、、，则(当且仅当时取等号)。

　 (2)在上恒成立，即在上恒成立，

∵，∴，即，

又∵

∴，即时，

，

又∵，∴。　　　　　 综上，得 。

　 易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴时，函数有最小值。

故猜测：时，单调递减；时，单调递增。

(3)依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。

　　 如对，，此时，

　 即 　。

(文)已知函数，，

(Ⅰ)当时，若在上单调递增，求的取值范围；

(Ⅱ)求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；

(Ⅲ)对满足(Ⅱ)的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

解：(Ⅰ)当时，，

若，，则在上单调递减，不符题意。

故，要使在上单调递增，必须满足 ，∴ 。

(Ⅱ)若，，则无最大值，故，∴为二次函数，

要使有最大值，必须满足，即且，

此时，时，有最大值。

又取最小值时，，依题意，有，则，

∵且，∴，得，此时或。

∴满足条件的实数对是。

(Ⅲ)当实数对是时，

依题意，只需构造以2(或2的正整数倍)为周期的周期函数即可。

如对，，

此时，，

故。

4、(12′=9′+3′)(理)设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式　 对任意恒成立的的集合。(1)求；(2)试写出一个解集为的不等式。

(文)设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集合。(1)求；(2)试写出一个解集为的不等式。

解：(理)(1)∵幂函数在上是增函数，∴，即，

　　　　　　 又不等式对任意恒成立，∴，即，

　　　　　　 ∴ 。

　　　　 (2)一个解集为的不等式可以是 　。

　 (文)(1)∵幂函数在上是增函数，∴，即，

　　　　　　　　 又不等式对任意恒成立，∴，即，

　　　　　　 ∴ 。

　　　　 (2)一个解集为的不等式可以是 　。

3、已知，记，(其中)，例如：

　　 。设，且满足，则有序数组

是 　。　

2、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 　。

1、已知之间满足

(1)方程表示的曲线经过一点，求b的值

(2)动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，求x²2y的最大值；

(3)由能否确定一个函数关系式，如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使之间建立函数关系，并求出解析式。

解：(1)　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)根据得　　　　　　　　 (5分)

　　　　　 (7分)

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)

(2)不能　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (11分)

　 如再加条件就可使之间建立函数关系　　　　　　 (12分)

解析式　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

(不唯一，也可其它答案)