3．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。

2．由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热点问题作深入的研究。

1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。

(二)2010年高考预测

1．求曲线(轨迹)方程的常用方法(定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等)。

2．掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。

3．直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有：

(1)直线方程、圆方程；

(2)圆锥曲线的标准方程；

(3)圆锥曲线的几何性质；

(4)直线与圆锥曲线的位置关系；

(5)求曲线(轨迹)方程。特别是求曲线(轨迹)方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。

(一)方法总结

1．求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a，b，c，e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.

2．涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用定义.

3．直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.

4．对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.

5．与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.

考点一　 点、直线、圆的位置关系问题

[内容解读]点与直线的位置关系有：点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时，经常考查点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆的位置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与两圆的半径之和或差比较。

[命题规律]本节内容一般以选择题或填空题为主，难度不大，属容易题。

例1、(2008全国Ⅱ卷文)原点到直线的距离为(　 　　)

A．1　　　　　　 B．　　　　 　C．2 　　　　　 D．

解：原点为(0，0)，由公式，得：，故选(D)。

点评：本题直接应用点到直线的公式可求解，属容易题。

例2、(2007湖南理)圆心为且与直线相切的圆的方程是　　　　 ．

解：圆与直线相切，圆心到直线的距离为半径，所以，R＝＝，所以，所求方程为：

点评：直线与圆的位置关系问题是经常考查的内容，对于相切问题，经常采用点到直线的距离公式求解。

例3、 (2008重庆理)圆O₁：x²+y²－2x＝0和圆O₂：x²+y²－4y＝0的位置关系是 ( 　 　)

(A)相离　　　　 (B)相交　 　 (C)外切　　　 (D)内切　　　　　　　　　　　

解：配方，得：圆O₁：(x－1)²+y²＝1和圆O₂：x²+(y－2)²＝4，

圆心为(1，0)，(0，2)，半径为r＝1，R＝2，

圆心之间距离为：＝，因为2－1＜＜2+1，

所以，两圆相交．选(B)．

　点评：两圆的位置关系有五种，通常是求两圆心之间的距离，再与两圆的半径之和或之差来比较，确定位置关系．

考点二　 直线、圆的方程问题

[内容解读]直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、.截距式、一般式五种形式，各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解。圆的方程有标准式一般式两种；直线与圆的方程问题，经常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。

[命题规律]直线与圆的方程问题多以选择题与填空题形式出现，属容易题。

例4、(2008广东文)经过圆的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是(　 )

A．　　　 B. 　　C. 　　　D.

解：易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为,因此，选(A.)。

点评：两直线垂直，斜率之积为－1，利用待定系数法求直线方程，简单、方便。

例5、(2008山东文)若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是( 　 )

A．　　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

解：设圆心为由已知得故选B.

点评：圆与x轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等，注意用数形结合，画出草图来帮助理解。

考点三　 曲线(轨迹)方程的求法

[内容解读]轨迹问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法：

(1)单动点的轨迹问题--直接法+ 待定系数法；

(2)双动点的轨迹问题--代入法；

(3)多动点的轨迹问题--参数法　 + 交轨法。

[命题规律]轨迹问题在高考中多以解答题出现，属中档题。

例6、(2008深圳福田模拟)已知动圆过定点，且与直线相切.

(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；

(2) 是否存在直线，使过点(0，1)，并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解：(1)如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知： 　　　

即动点到定点与到定直线的距离相等，

由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，　　　　　　

为准线，　

∴动圆圆心的轨迹方程为　

(2)由题可设直线的方程为

由得　　

　 △，　

设，，则，　

　 由，即 ，，于是，

即，，

　 ，解得或(舍去)，

又，　 ∴ 直线存在，其方程为　

点评：本题的轨迹问题采用抛物线的定义来求解，用圆锥曲线的定义求轨迹问题是经常采用的方法，要求充分掌握圆锥曲线的定义，灵活应用。

例7、(2008广州模拟)已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．

(1)求曲线的方程；

(2)设过的直线与曲线交于、两点，且(为坐标原点)，求直线的方程．

解：(1)根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，

　　 其中，，则． 所以动点M的轨迹方程为．

(2)当直线的斜率不存在时，不满足题意．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，

∵，∴． 　　 ∵，，

∴．　∴ ．………… ①　

由方程组得．

则，，

代入①，得．

即，解得，或．所以，直线的方程是或

　点评：本题考查椭圆的定义，椭圆与向量结合的综合题的解法。

例8、(2008广东吴川模拟)已知点和圆C：，(1)求经过点P被圆C截得的线段最长的直线的方程；

(2)过P点向圆C引割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹。

解：(1)化圆的方程为：　　　　 圆心坐标：　

　　　　 由题意可得直线经过圆C的圆心，由两点式方程得：

化简得：直线的方程是：　

(2)解：设中点

　　　　 ∵CM⊥PM　 ∴是

　　　　 有：

　　　　 即：

　　　　 化简得：

　　　　 故中点M的轨迹是圆在圆C内部的一段弧。

点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。要求掌握好平面几何的知识，如勾股定理，垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。

考点四　 有关圆锥曲线的定义的问题

[内容解读]圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外，经常在选择题、填空题中也有出现。

[命题规律]填空题、选择题中出现，属中等偏易题。

例9、(2008上海文)设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于(　)

A．4　　　　 B．5　　　　　　　 C．8　　　　　　　 D．10

解：由椭圆的定义知：故选(D)。

点评：本题很简单，直接利用椭圆的定义即可求解，属容易题。

例10、(2008北京理)若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为( 　 )

　　 A．圆　　　　　 B．椭圆　　　　 C．双曲线　　　　　　 D．抛物线

解: 把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。故选(D)。

点评： 本题考查抛物线的定义，将点P到x=-1的距离，转化为点P到x＝－2的距离，体现了数学上的转化与化归的思想。

例12、(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y² = 4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　 　 )

A. (，－1) B. (，1)　　 C. (1，2)　 D. (1，－2)

解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图

,故最小值在三点共线时取得，

此时的纵坐标都是，点坐标为，所以选A。

点评：点P到焦点的距离，利用抛物线的定义，转化为点P到准线之间的距离，体现数学上的转化与化归的思想，在数学问题中，经常考查这种数学思想方法。

考点五　 圆锥曲线的几何性质

[内容解读]圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐标、离心率和近近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容，

离心率公式一样：e＝，范围不一样，椭圆的离心率在(0,1)之间，双曲线的离心率在(1，+∞)之间，抛物线的离心率为1，

[命题规律]

例13、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为(　 　 )

A. 3　　　　　　　 B. 4　　　　 C. 3　　　　 D. 4

解：因为a＝，b＝，所以c＝＝2，2c＝4，故选(D)。

点评：本题考查双曲线中a、b、c之间的关系，焦距的定义，属容易题。

例14、(2008福建文、理)双曲线的两个焦点为，若P为其上的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　 D．

解：如图，设，，当P在右顶点处，

∵，∴

点评：本题考查离心率的公式及其意义，另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边来求解,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线.

例15、(2008辽宁文) 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则( 　 )

　　 A．1　　　　　 B．2　　　　　　　 C．3　　　　　　　 D．4

解：取顶点,

一条渐近线为故选(D)。

点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式问题。

考点六　 直线与圆锥曲线位置关系问题

[内容解读]能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题；能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便。

[命题规律]直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程，数形结合，分类讨论、化归等数学思想方法，因此这部分经常作为高考试题的压轴题，命题主要意图是考查运算能力，逻辑揄能力。

例16、(2007年重庆)已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　 )

(A)　　　　　 (B)　　　　　 (C)　　　　　 (D)

解：设椭圆方程为，联立方程组：

消x得：－1＝0，

△＝192m²－4(16m－1)(3m+n)＝0，整理，得：即：

　 ，又c＝2，由焦点在x轴上信，所以，

＝4，联立解得：，故长轴长为

点评：直线与圆锥曲线只有一个交点时，经常采用联立方程组，消去一个未知数后，变成一元二次方程，由判别式来求解，但要注意，有时要考虑二次项的系数为0的特殊情况。

例17、(2007年浙江)如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为．

(I)求在，的条件下，的最大值；

(II)当，时，求直线的方程．

解：设点的坐标为，点的坐标为．

由，解得，

所以，

当且仅当时，取到最大值1．

(Ⅱ)解：由，得，

＝＝+1，　　　　　　　 　　　　　　①

｜AB｜＝＝＝2　②

设到的距离为，则，又因为，

所以，代入②式并整理，得，

解得，，，代入①式检验，．

故直线的方程是，或，

或，或．

点评:求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式：｜AB｜＝＝来求解。

例18、(2006上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.

　　 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x₀,y₀)，

由，得

由,点P在椭圆上,得,

∴线段PA中点M的轨迹方程是.

点评:涉及弦的中点问题，除用上述方法外，有时也联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理，或运用平方差法求解，但必须是以直线与圆锥曲线相交为前提。

5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。

(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。

(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

4. 直线与圆锥曲线的位置关系：(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

　　 a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离

c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性

(2).a.求弦所在的直线方程;;b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称)

3.圆锥曲线

(1).椭圆的标准方程及其性质

　椭圆＝1的参数方程为：(为参数)。

(2)双曲线的标准方程及其性质

双曲线＝1的参数方程为：(为参数)。

　(3).抛物线的标准方程及其性质

平面内，到一个定点F和一条直线的距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。

四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：，，其中：

① 参数的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正值；值越大，张口越大；等于焦点到抛物线顶点的距离。

②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是， 若的一次项前符号为正，则开口向右，若的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是， 当的一次项前符号为正，则开口向上，若的一次项前符号为负，则开口向下。

抛物线的简单几何性质

方程	设抛物线
性质	焦点	范围	对称性	顶点	离心率	准线	通径
		关于轴对称	原点

抛物线的参数方程为：(t为参数)。

　(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．

3．参数方程与普通方程

　我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的(间接)关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义．

　要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，