5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；

4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；

3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用；

2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；

在进行数列二轮复习时，建议可以具体从

以下几个方面着手:

1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；

(二)2010年高考预测

1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。

2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.

3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。

4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.

5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.

6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。

7、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。

(一)方法总结

1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。

2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。

3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。

考点一：等差、等比数列的概念与性质

例1. (2008深圳模拟)已知数列　

(1)求数列的通项公式；　 (2)求数列

解：(1)当；、

　　 当，

、

　 (2)令　

　　 当；

　　 　当

综上，　

　点评：本题考查了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n＝1时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想．

例2、(2008广东双合中学)已知等差数列的前n项和为，且，. 数列是等比数列，(其中).

　 (I)求数列和的通项公式；(II)记.

解：(I)公差为d，

则　.

　　　 设等比数列的公比为，　 　 　

　　　 .

　 (II)　 　

作差：

　　 .　

点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以2后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。

考点二：求数列的通项与求和

例3.(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第行()从左向右的第3个数为　　 　　　

解：前n－1 行共有正整数1+2+…+(n－1)个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第+3个，即为．

点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。

例4.(2008深圳模拟)图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则　　；＿＿＿＿

解：第1个图个数：1

第2个图个数：1+3+1

第3个图个数：1+3+5+3+1

第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1

第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=，

所以，f(5)＝41

f(2)-f(1)=4 ，f(3)-f(2)=8，f(4)-f(3)=12，f(5)-f(4)=16

点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。

考点三：数列与不等式的联系

例5.(2009届高三湖南益阳)已知等比数列的首项为，公比满足。又已知，，成等差数列。

　 (1)求数列的通项　

　 (2)令，求证：对于任意，都有

(1)解：∵　 ∴　 ∴

　　 ∵　　 ∴　　 ∴　

(2)证明：∵　 ，

　 ∴

点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第(2)问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。

例6、(2008辽宁理) 在数列，中，a₁=2，b₁=4，且成等差数列，成等比数列()

(Ⅰ)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：．

解：(Ⅰ)由条件得由此可得

．

猜测．

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．

(Ⅱ)．

n≥2时，由(Ⅰ)知．

故

综上，原不等式成立．

点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．

例7. (2008安徽理)设数列满足为实数

(Ⅰ)证明：对任意成立的充分必要条件是；

(Ⅱ)设，证明：;

(Ⅲ)设，证明：

解： (1) 必要性 ：　，

　　　　　　　　 又 　，即

充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明

　　　　 当时，.假设

　　　　 则，且

，由数学归纳法知对所有成立

　　 (2) 设 ，当时，，结论成立

　　　　 当　时，

　　　　　 ,由(1)知，所以 　且 　

(3) 设 ，当时，，结论成立

　当时，由(2)知

点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。

考点四：数列与函数、概率等的联系

例题8.. (2008福建理) 已知函数.

　(Ⅰ)设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点(n,S_n)也在y=f′(x)的图象上；

　(Ⅱ)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值.

　　 (Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x²+2x,

　　 由点在函数y=f′(x)的图象上,

　　 又所以

　　 所以,又因为′(n)=n²+2n,所以,

　　 故点也在函数y=f′(x)的图象上.

(Ⅱ)解:,

由得.

当x变化时,﹑的变化情况如下表:

注意到,从而

①当,此时无极小值；

②当的极小值为,此时无极大值；

③当既无极大值又无极小值.

点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.

　例9 、(2007江西理)将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数

列的概率为(　)

　A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

　　解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：(1)公差为0的有6个；(2)公差为1或-1的有8个；(3)公差为2或-2的有4个，共有18个，

成等差数列的概率为，选B

点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。

考点五：数列与程序框图的联系

例10、(2009广州天河区模拟)根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}；

的一个通项公式y_n，并证明你的结论;

(Ⅲ)求．

解：(Ⅰ)由框图，知数列　

∴　

(Ⅱ)y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80.

由此，猜想

证明：由框图，知数列{y_n}中，y_n+1=3y_n+2

∴

∴　　

∴数列{y_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。

∴+1=3·3^n－1=3ⁿ

∴=3ⁿ－1()　

(Ⅲ)z_n=

=1×(3－1)+3×(3²－1)+…+(2n－1)(3ⁿ－1)

=1×3+3×3²+…+(2n－1)·3ⁿ－[1+3+…+(2n－1)]

记S_n=1×3+3×3²+…+(2n－1)·3ⁿ，①　　　　　　　

则3S_n=1×3²+3×3³+…+(2n－1)×3ⁿ⁺¹　 ②　　

①－②，得－2S_n=3+2·3²+2·3³+…+2·3ⁿ－(2n－1)·3ⁿ⁺¹

=2(3+3²+…+3ⁿ)－3－(2n－1)·3ⁿ⁺¹

=2×=

∴　　　　　　　

又1+3+…+(2n－1)=n²

∴.

　点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。

2．等差数列和等比数列的比较

　(1)定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数(不为0)的数列叫做等比数列．

　(2)递推公式：．

　(3)通项公式：．

　(4)性质

　等差数列的主要性质：

　①单调性：时为递增数列，时为递减数列，时为常数列．

　②若，则．特别地，当时，有．

　③．

　④成等差数列．

　等比数列的主要性质：

　①单调性：当或时，为递增数列；当，或时，为递减数列；当时，为摆动数列；当时，为常数列．

　②若，则．特别地，若，则．

　③．

　④，…，当时为等比数列；当时，若为偶数，不是等比数列．若为奇数，是公比为的等比数列．

1．数列的概念及表示方法

　(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．

　(2)表示方法：列表法、解析法(通项公式法和递推公式法)、图象法．

　(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．

　(4)与的关系：．