3.概率

(1)事件与基本事件：

　

　基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．

　(2)频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．

　(3)互斥事件与对立事件：

事件	定义	集合角度理解	关系
互斥事件	事件与不可能同时发生	两事件交集为空	事件与对立，则与必为互斥事件； 事件与互斥，但不一是对立事件
对立事件	事件与不可能同时发生，且必有一个发生	两事件互补

　(4)古典概型与几何概型：

　古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．

　几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例．

　两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．

　(5)古典概型与几何概型的概率计算公式：

　古典概型的概率计算公式：．

　几何概型的概率计算公式：．

　两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．

　(6)概率基本性质与公式

①事件的概率的范围为：．

②互斥事件与的概率加法公式：．

③对立事件与的概率加法公式：．

(7) 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p_n(k) = Cp^k(1―p)^n―k.　实际上，它就是二项式[(1―p)+p]ⁿ的展开式的第k+1项.

(8)独立重复试验与二项分布

　①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：(1)相同条件；(2)多次重复；(3)各次之间相互独立；

　②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．

2.二项式定理

⑴ 二项式定理

(a +b)ⁿ =Caⁿ +Ca^n－1b+…+Ca^n－rb^r +…+Cbⁿ，其中各项系数就是组合数C，展开式共有n+1项，第r+1项是T_r+1 =Ca^n－rb^r.

⑵ 二项展开式的通项公式

二项展开式的第r+1项T_r+1=Ca^n－rb^r(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。

⑶ 二项式系数的性质

①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，

即C= C　(r=0,1,2,…,n).

②若n是偶数，则中间项(第项)的二项公式系数最大，其值为C；若n是奇数，则中间两项(第项和第项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C= C.

③所有二项式系数和等于2ⁿ，即C+C+C+…+C=2ⁿ.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，

即C+C+…=C+C+…=2^n―1.

1.排列与组合

⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.

⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.

⑶ 排列与组合的主要公式

①排列数公式：　(m≤n)　

A=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1.

②组合数公式：　(m≤n).

③组合数性质：①(m≤n).　　　　 ②　　

③

2、在复习解不等式过程中，注意培养、强化与提高函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想和方法，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力. 能根椐各类不等式的特点，变形的特殊性，归纳出各类不等式的解法和思路以及具体解法。

1、不等式的证明题题型多变，证明思路多样，技巧性较强，加之又没有一劳永逸、放之四海而皆准的程序可循，所以不等式的证明是本章的难点. 攻克难点的关键是熟练掌握不等式的性质和基本不等式，并深刻理解和领会不等式证明中的数学转化思想.

在复习中应掌握证明不等式的常用思想方法：比较思想；综合思想；分析思想；放缩思想；反证思想；函数思想；换元思想；导数思想.

(二)2010年高考预测

在近年的高考中，不等式的考查有选择题、填空题、解答题都有，不仅考查不等式的基础知识，基本技能，基本方法，而且还考查了分析问题、解决问题的能力。解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题，函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答，函数不等式相结合的题目，多是先以直觉思维方式定方向，以递推、数学归纳法等方法解决，具有一定的灵活性。

由上述分析，预计不等式的性质，不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解不等与证不等式。如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大，如果是证明题将是不等式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题，用导数解答这类问题仍然值得重视。

(一)方法总结

1．熟练掌握不等式的基本性质，常见不等式(如一元二次不等式，绝对值不等式等 )的解法，不等式在实际问题中的应，不等式的常用证明方法

2．数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。

考点一：不等关系与不等式

[内容解读]通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等(组)的现实背景；了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用。

养成推理必有依据的良好习惯，不要想当然，不要错漏不等式性质使用的条件，如，中，注意后面大于0的条件，出题者往往就在这里出一些似是而非的题目来迷惑考生．

[命题规律]高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为选择题或填空题，属容易题。

例1、(2008广东文)设，若，则下列不等式中正确的是(　　 )

A．　　 B. 　　　C. 　　　D.

解：由知, ,所以,故选C.

点评：本题考查绝对值的概念和绝对值的性质，如果用特殊值法也能求解。

例2、(2007上海理科)已知为非零实数，且，则下列命题成立的是(　 )

A、　　 B、　　 C、　　 D、

解：取a＝－3，b＝2，由(A)(B)(D)都错，故(C)。

点评：特殊值法是解选择题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一种方法。这晨a，b没有说明符号，注意不要错用性质。

考点二：一元二次不等式及其解法

[内容解读]会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解含参的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数图象来解不等式．

(1)用图象法解一元二次不等式

教材中在研究一元二次不等式的解法时，是结合二次函数的图象，利用对应的一元二次方程的解得出的，所以我们学习一元二次不等式的解法时，应从二次函数图象出发加以理解．

(2)弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系

二次函数是研究自变量x与函数值y之间的对应关系，一元二次方程的解就是自变量为何值时，函数值的这一情况；而一元二次不等式的解集是自变量变化过程中，何时函数值()或()的情况．一元二次方程的解对研究二次函数的函数值的变化是十分重要的，因为方程的两根是函数值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解的区间的端点．学习过程中，只有搞清三者之间的联系，才能正确认识与理解一元二次不等式的解法．

[命题规律]高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，若以选择题、填空题出现，则会对不等式直接求解，或经常地与集合、充要条件相结合，难度不大。若以解答题出现，一般会与参数有关，或对参数分类讨论，或求参数范围，难度以中档题为主。

例3、(2007湖南)不等式的解集是(　　 )

A．　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　 D．

解：原不等式可化为x²－x＞0，即x(x－1)＞0，所以x＜0或x＞1，选(D)．

点评：这是一道很简单的一元二次不等式的试题，只要知道它的解法即可．

例4、(2007福建)“”是“”的什么条件……(　 )

A．充分而不必要　 B．必要而不充分　 C．充要　 D．既不充分也不必要

解：由|x｜＜2，得：－2＜x＜2，由得：－2＜x＜3，

－2＜x＜2成立，则－2＜x＜3一定成立，反之则不一定成立，所以，选(A)。

点评：本题是不等式与充分必要条件结合的综合考查题，先解出不等式的解集来，再由充分必要条件的判断方法可得。

例5、(2008江西文)不等式的解集为　 　　　．

解：原不等式变为，由指数函数的增减性，得：

，所以填：。

点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是经常考查的内容，应加强训练。

例6、已知集合，，若，求实数的取值范围．

　 解：．

设，它的图象是一条开口向上的抛物线．

(1)若，满足条件，此时，即，

解得；

(2)若，设抛物线与轴交点的横坐标为，

且，欲使，应有，

结合二次函数的图象，得

即　　解得．

综上可知的取值范围是．

点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，分类时做到不遗漏。

考点三：简单的线性规划

[内容解读]了解二元一次不等式(组)表示的平面区域和线性规划的意义；了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力．

生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．

[命题规律]线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容易题、中档题为主，考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深入，近年来，以解答题的形式来考查的试题也时有出现，考查学生解决实际问题的能力。

例7、(2008安徽文)若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线　扫过中的那部分区域的面积为 (　　 )A．　　　　　 B．1 　 C．　　 D．5

解：如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形。

(阴影部分面积比1大，比小,故选C,不需要算出来)

点评：给出不等式组，画出平面区域，求平面区域的面积的问题是经常考查的试题之一，如果区域是不规节图形，将它分割成规节图形分别求它的面积即可。

例8、(2008广东理)若变量x,y满足，则z=3x+2y的最大值是 ( 　)

　 A．90　　 B. 80　 C. 70　　 D. 40

解:做出可行域如图所示.目标函数化为：y＝－，令z＝0，画y＝－，及其平行线，如右图，当它经过两直线的交点时，取得取大值。

解方程组,得.

所以,故答C.

点评：求最优解，画出可行域，将目标函数化为斜截式，再令z＝0，画它的平行线，看y轴上的截距的最值，就是最优解。

例9、(2007山东)本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得

　　　 目标函数为．

　　　 二元一次不等式组等价于

　　　 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．

　　　 如图：

　　　 作直线，

　　　 即．

　　　 平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．　　

　　　 联立解得．

　　　 点的坐标为．

　　　 (元)

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

点评：用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一。

考点四：基本不等关系

[内容解读]了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解用综合法、分析法、比较法证明不等式。

利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：

(1)当都为正数，且为定值时，有(定值)，当且仅当时，等号成立，此时有最小值；

(2)当都为正数，且为定值时，有(定值)，当且仅当时，等号成立，此时有最大值．

创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当a=b时，等号成立)，它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点．

[命题规律]高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择题或填空题，一般难度不太大。

例10、(2007上海理)已知，且，则的最大值是　　　 　　　．

解： ，当且仅当x=4y=时取等号.

　点评：本题考查基本不等式求最值的问题，注意变形后使用基本不等式。

例11、(2008浙江文)已知( 　 )

(A)　　　　　 (B) 　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

解：由,且，∴，∴　。

点评：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。

例12、(2008江苏)已知，，则的最小值 　　　　．

解：由得，

代入得，当且仅当＝3　时取“＝”．

点评：本小题考查二元基本不等式的运用．题目有有三个未知数，通过已知代数式，对所求式子消去一个未知数，用基本不等式求解。

考点五：绝对值不等式

[内容解读]掌握绝对值不等式｜x｜＜a，｜x｜＞a(a＞0)的解法，了解绝对值不等式与其它内容的综合。

[命题规律]本节内容多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大。

例13、(2008湖南文)“|x－1|＜2”是“x＜3”的(　)

A.充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.必要不充分条件

C.充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.即不充分也不必要条件　　　　　　　　　

解：由|x－1|＜2得－1＜x＜3，在－1＜x＜3的数都有x＜3，但当x＜3时，不一定有－1＜x＜3，如x＝－5，所以选(A)．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，充分条件必要条件的解法，可以用特殊值法来验证，充分性与必要性的成立。

例14、(2008四川文)不等式的解集为(　 　 　)

　(A)　(B)　(C)　(D)

解：∵　 ∴　即， ，

∴　 故选A；

点评：此题重点考察绝对值不等式的解法；准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法；

考点六：不等式的综合应用

[内容解读]用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题，如求最值，证明不等式等。

[命题规律]不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有一定的难度。

例15、(2008江苏模拟)如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为(单位:米)的矩形,上部是斜边长为的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米.

(Ⅰ)求的关系式，并求的取值范围；

(Ⅱ)问分别为多少时用料最省?

解：(Ⅰ)由题意得：

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　

(Ⅱ)设框架用料长度为，

则　 　

当且仅当满足　　　　　

答：当 米，米时，用料最少.　　

点评：本题考查利用基本不等式解决实际问题，是面积固定，求周长最省料的模型，解题时，列出一个面积的等式，代入周长所表示的代数式中，消去一个未知数，这是常用的解题方法。

例16、(2008江苏模拟)某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．

(1)求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用(万元)；

(2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水

处理设备？

解：(1)

即()；

　　 (2)由均值不等式得：

(万元)

　　 当且仅当，即时取到等号．

答：该企业10年后需要重新更换新设备．

点评：本题又是基本不等式的一个应用，第一问求出函数关系式是关键，第二问难度不大。

考点七：不等式的证明

[内容解读]证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．

[命题规律]不等式的证明多以解答题的形式出现，属中等偏难的试题。

例17、已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a⁵ + b⁵ > a²b³ + a³b²

证明：(a⁵ + b⁵ ) - (a²b³ + a³b²) = ( a⁵ - a³b²) + (b⁵ - a²b³ )

= a³ (a² - b² ) - b³ (a² - b²) = (a² - b² ) (a³ - b³)

= (a + b)(a - b)²(a² + ab + b²)

　　　 ∵a, b都是正数，∴a + b, a² + ab + b² > 0

　　　 又∵a ¹ b，∴(a - b)² > 0　 ∴(a + b)(a - b)²(a² + ab + b²) > 0

　　　 即：a⁵ + b⁵ > a²b³ + a³b²

　点评：作差相减法是证明不等式的常用方法之一，通过作差比较差的结果的符号是大于0还是小于0，另外，作商也是经常使用的方法。

例18、已知，求证

证明：只需证：

即证：

成立

原不等式成立.

点评：用分析法证明不等式也是常用的证明方法，通过分析法，能够找到证明的思路。

例19、(2007湖北理科)已知m，n为正整数.

(Ⅰ)用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)^m≥1+mx；

(Ⅱ)对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；

(Ⅲ)求出满足等式3ⁿ+4^m+…+(n+2)^m=(n+3)ⁿ的所有正整数n.

解：(Ⅰ)证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：

当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx.　 1

(i)当m=2时，左边＝1+2x+x²,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x²>0，即左边>右边，不等式①成立；

(ii)假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即(1+x)^k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx²>0.

于是在不等式(1+x)^k>1+kx两边同乘以1+x得

(1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx²>1+(k+1)x,

所以(1+x)^k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立.

综上所述，所证不等式成立.

(Ⅱ)证：当

而由(Ⅰ)，　

(Ⅲ)解：假设存在正整数成立，

即有()+＝1.　②

又由(Ⅱ)可得

()+

+与②式矛盾，

故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.

故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；

当n=1时，3≠4，等式不成立；

当n=2时，3²+4²＝5²，等式成立；

当n=3时，3³+4³+5³＝6³，等式成立；

当n=4时，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴为偶数，而7⁴为奇数，故3⁴+4⁴+5⁴+6⁴≠7⁴,等式不成立；

当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.

综上，所求的n只有n=2,3.

点评：本题考查数学归纳法、不等式的基本、反证法等内容，难度较大。

7、绝对值不等式

(1)｜x｜＜a(a＞0)的解集为：{x｜－a＜x＜a}；

｜x｜＞a(a＞0)的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。

(2)

6、线性规划问题的解题方法和步骤

解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线(线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线)与平面区域(可行域)有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：

(1)设出未知数，确定目标函数。

(2)确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。

(3)由目标函数z＝ax+by变形为y＝－x+，所以，求z的最值可看成是求直线y＝－x+在y轴上截距的最值(其中a、b是常数，z随x，y的变化而变化)。

(4)作平行线：将直线ax+by＝0平移(即作ax+by＝0的平行线)，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大(或最小)时所经过的点，求出该点的坐标。

(5)求出最优解：将(4)中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大(或最小)值。