2. 若函数为奇函数，且当时，，则当时，有(C) 　　　 (　　 )

　　　 ≤0　 　

－

我们在探讨或证明函数的奇偶性过程中，处了将进行化简，其方向是或以外，我们还可以看到其等价形式、或当恒成立时，也有、．

追踪训练

1．下列结论正确的是：　　　(C )

偶函数的图象一定与轴相交；

奇函数的图象一定过原点；

偶函数的图象若不经过原点，则它与轴的交点的个数一定是偶数；

定义在上的增函数一定是奇函数．

2．奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；

思维点拔：

1．如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；

根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；

3. 判断下列函数的奇偶性：

(1)

(2)

(3)

解：(1)函数的定义域为，关于原点对称，

对于定义域中的任意一个，

所以该函数是偶函数；

(2)函数 的定义域得关于原点对称，此时

对于定义域中的任意一个，

所以该函数是奇函数；

(3) 函数的定义域为关于原点对称，此时，所以该函数既是奇函数又是偶函数。

[选修延伸]

构造函数的奇偶性求函数值：

例3: 已知函数若，求的值。

析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题。

[解]

方法一：　由题意得①

　　②

①+②得

∵

∴

方法二：　构造函数，

则一定是奇函数

　又∵，∴

因此　 所以，即．

说明：

2. 如果二次函数是偶函数，则　3．

例3：已知函数是偶函数，求实数的值．

[解]∵是偶函数，∴恒成立，

即恒成立，

∴恒成立，∴，即．

追踪训练一

1. 给定四个函数；；；；其中是奇函数的个数是(B)

1个　2个　

3个　4个

例2：已知函数是定义域为的奇函数，求的值．

[解]

∵是定义域为的奇函数，

∴对任意实数都成立，

把代入得

，

∴．

例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数：

判断下列函数的奇偶性：

(1)　(2)

(3)，

(4)　 (5)

析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。

[解](1) 函数的定义域为，关于原点对称，

且，所以该函数是奇函数。

(2)函数的定义域为，关于原点对称，

且，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，即是非奇非偶函数。

(3) 函数，的定义域为不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数。

(4)函数的定义域为，关于原点对称，，所以该函数既是奇函数又是偶函数。

(5) 函数的定义域为，关于原点对称，，所以该函数是偶函数。

5．已知二次函数在上有最大值4，求实数的值．

解：函数的对称轴为，

当时，则当时函数取最大值，即即；

当时，则当时函数取得最大值，即，即

所以，或。

[师生互动]