21. (本小题满分12分)(理科) 已知椭圆的左右焦点分别为
,短轴两个端点为
,且四边形
是边长为2的正方形.
(I)求椭圆方程;
(II)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点
满足
,连接
,交椭圆于点
.求证:
为定值.
答案:(I),
,
椭圆方程为
.
…………………………………………………………4分
(II),设
,则
.
直线:
,
即 ,……………………………6分
代入椭圆, 得
。……………………………………………8分
.
,………………………………………………10分
(定值).……………………12分
(文科)已知实数,函数
.
(Ⅰ)若的图象在点
处的切线与直线
平行,求函数
的极值;
(Ⅱ)若对任意,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
答案:(Ⅰ) ,
.
,得
------------2分
令得
,∴
或
.
又函数在
上为增函数,在
上为减函数,
在上为增函数------------4分
在
时取得极大值 ,
.
在时取得极小值
------------6分
(Ⅱ)由,知
当时,函数
在
上是增函数,在
上是减函数.
此时,. 又对
,不等式
恒成立 .
∴,得
,
∴ . ------------9分
当时,函数
在
上是减函数,在
上是增函数.
又,
, 此时,
.
又对,不等式
恒成立 .
∴得
, ∴
.
故所求实数的取值范围是 . ---------------12分
20. (本小题满分12分)(理科)已知数列{}满足
=2,
.
(I)求数列{}的通项公式;
(II)设,试推断是否存在常数A,B,C,使对一切
都有
=
成立?若存在,求出A,B,C的值,若不存在,说明理由.
答案:(I) 由已知,得 ,
即 , ………………………3分
所以数列{}是公比为2的等比数列,首项为
=2,
故=
. ………………………6分
也可以用累积法
(II) 因为=
,
若=
恒成立,则
恒成立,所以
………………………9分
解出 A=1,B=-4,C=6.
故存在常数A,B,C满足条件. ………………………12分
(文科)已知等差数列和等比数列
,
且
,
是
和
的等比中项.
(Ⅰ)求数列、
的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列
的前
项和
.
答案:(Ⅰ)设等差数列的公差为
,等比数列
的公比为
,由题意知:
…………4分
,
. …………6分
(II) 因为, …………8分
所以 . (1)
. (2) …………10分
由(1)减(2), 得
,
…………12分
19. (本小题满分12分)已知矩形ABCD中,
,
,现沿对角线
折成二面角
,使
(如图).
(I)求证:面
;
(II)求二面角平面角的大小.
答案:(I),
,
. …………3分
又,
平面
. …………6分
(II)方法一:取AB中点M,连CM,过M作交BD于N,连CN.
,
,
平面
,
平面
,
平面
平面
. …………8分
平面
,
.
又,
平面
,
为二面角
的平面角. …………10分
,
,
,
,
故二面角平面角的度数为
. …………12分
方法二:取AB中点M,连CM.
∵AC=AB=1, ∴CM⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面ABD,∴CM⊥平面ABD.
取BD中点H,∴MH∥AD.
∵AD⊥AB, ∴MH⊥AB.
分别以AB,MH,MC为x,y,z轴建立空间直角坐标系. …………6分
得
,
∴.
…………8分
设平面BCD的法向量为,
∴.
…………10分
又∵平面ABD的法向量为,
∴
显然二面角为锐角,所以它的大小为
. …………12分
18. (本小题满分12分)为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”,上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡,其中向境外人士发行的是世博金卡(简称金卡),向境内人士发行的是世博银卡(简称银卡)。现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游,其中是境外游客,其余是境内游客。在境外游客中有
持金卡,在境内游客中有
持银卡.
(I)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;
(II)在该团的境内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量,求
的分布列及数学期望
.
答案:(I)由题意得,境外游客有27人,其中9人持金卡;境内游客有9人,其中6人持银卡.设事件为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,
事件为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,
事件为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”。
.
………………………………………………………3分
所以,在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。
…………………………………………………………6分
(II)的可能取值为0,1,2,3
,
.
,
,.
所以的分布列为
![]() |
0 |
1 |
2 |
3 |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
…………………………………………………………10分
所以, ……………………12分
(文科)高考数学考试中共有12道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且仅有一个是正确的。评分标准规定:“在每小题给出的上个选项中,只有一项是符合题目要求的,答对得5分,不答或答错得0分”。某考生每道选择都选出一个答案,能确定其中有8道题的答案是正确的,而其余题中,有两道题都可判断出两个选项错误的,有一道题可能判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜。试求出该考生的选择题:
(I)得60分的概率;
(II)得多少分的概率最大?
答案:(I)要得60分,必须12道选择题全答对. …………2分
依题意,易知在其余的四道题中,有两道题答对的概率各为,有一道题答对的概率为
,还有一道题答对的概率为
,所以他做选择题得60分的概率为:
…………6分
(II)依题意,该考生选择题得分的可能取值有:40,45,50,55,60共五种
得分为40,表示只做对有把握的那8道题,其余各题都做错,于是其概率为:
.
类似的,可知得分为45分的概率:
得分为50的概率:
得分为55的概率:
得分为60的概率:
该生选择题得分为45分或50分的可能性最大. …………12分
请把解答过程写在答题卡相应位置上.)
17. (本小题满分10分)已知a、b、c是△ABC三边长,关于x的方程的两根之差的平方等于4,△ABC的面积
(I)求C;
(II)求a、b的值.
答案:(I)设的两根.
则 ,
.
……………………………2分
.
.
………………………………4分
又,
,
.
…………………………………………6分
(II)由,
. ①
由余弦定理 ,
即 ,
,
. ②
……………………………8分
由①、②,得 . …………………………………10分
16. (理科)秋末冬初,流感盛行,特别是甲型H1N1流感传染性强.重庆市某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{a},已知a
=1,a
=2,且
(n∈N
),则该医院30天入院治疗甲流感的人数共有 .
答案:255. 由于,所以
,
构成公差为2的等差数列,所以
.
(文科)某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果;企业统计员制作了如下的统计表格:
产品类别 |
A |
B |
C |
产品数量(件) |
|
1300 |
|
样本容量(件) |
|
130 |
|
由于不小心,表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C的产品数量是 件.
答案:800.
15. 已知球O是棱长为12的正四面体S-ABC的外接球,D,E,F分别是棱SA,SB,SC的中点,则平面DEF截球O所得截面的面积是_______.
答案:48
.作图如右,设M点球心,可为高SO的四等分点处,
,易求出
14. 设变量满足约束条件
,则目标函数
的最小值为______.
答案:3. 本题考查线性规划的有关知识,以及数形结合的数学思想方法.
设变量、
满足约束条件
在坐标系中画出可行域△ABC,A(2,0),B(1,1),C(3,3),则目标函数
的最小值为3.
13. (理科)的展开式中,常数项为252,则
______.
答案:.注意到
,由
,得
,所以常数项是
,解得
.
(文科)在的展开式中,常数项是第___项.
答案:7.
12. 两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如右图所示,则下列座位号码符合要求的应当是(
).
A. 48,49 B. 62,63
C. 75,76 D. 84,85
答案: D. 通过逻辑推理与分析,容易知道, 只有D符合条件.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
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