20、(本小题满分16分)

设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。

(1)设函数，其中为实数。

(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。

(2)已知函数具有性质。给定设为实数，

，，且，

若||<||，求的取值范围。

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。

(1)(i)

∵时，恒成立，

∴函数具有性质；

(ii)(方法一)设，与的符号相同。

当时，，，故此时在区间上递增；

当时，对于，有，所以此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，而，

对于，总有，，故此时在区间上递增；

(方法二)当时，对于，

　 所以，故此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而

　当时，，，故此时在区间　　 上递减；同理得：在区间上递增。

综上所述，当时，在区间上递增；

　　　　　 当时，在上递减；在上递增。

(2)(方法一)由题意，得：

又对任意的都有>0，

所以对任意的都有，在上递增。

又。

当时，，且，

综合以上讨论，得：所求的取值范围是(0，1)。

(方法二)由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。

①当时，有，

，得，同理可得，所以由的单调性知、，

从而有||<||，符合题设。

②当时，，

，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。

③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的的取值范围是(0，1)。

数学Ⅱ(附加题)

19、(本小题满分16分)

设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。

(1)求数列的通项公式(用表示)；

(2)设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。

(1)由题意知：，

，

化简，得：

，

当时，，适合情形。

故所求

(2)(方法一)

， 恒成立。

　 又，，

故，即的最大值为。

(方法二)由及，得，。

于是，对满足题设的，，有

。

所以的最大值。

另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。

于是，只要，即当时，。

所以满足条件的，从而。

因此的最大值为。

18、(本小题满分16分)

在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。

(1)设动点P满足,求点P的轨迹；

(2)设，求点T的坐标；

(3)设,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。

[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。

(1)设点P(x，y)，则：F(2，0)、B(3，0)、A(-3，0)。

由，得 化简得。

故所求点P的轨迹为直线。

(2)将分别代入椭圆方程，以及得：M(2，)、N(，)

直线MTA方程为：，即，

直线NTB 方程为：，即。

联立方程组，解得：，

所以点T的坐标为。

(3)点T的坐标为

直线MTA方程为：，即，

直线NTB 方程为：，即。

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，

解得：、。

(方法一)当时，直线MN方程为：

　令，解得：。此时必过点D(1，0)；

当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D(1，0)。

所以直线MN必过x轴上的一定点D(1，0)。

(方法二)若，则由及，得，

此时直线MN的方程为，过点D(1，0)。

若，则，直线MD的斜率，

直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。

因此，直线MN必过轴上的点(1，0)。

17、(本小题满分14分)

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。

(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？

[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

(1)，同理：，。

　AD-AB=DB，故得，解得：。

因此，算出的电视塔的高度H是124m。

(2)由题设知，得，

，(当且仅当时，取等号)

故当时，最大。

因为，则，所以当时，-最大。

故所求的是m。

16、(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90⁰。

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。

(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=90⁰，得CD⊥BC，

又PDDC=D，PD、DC平面PCD，

所以BC⊥平面PCD。

因为PC平面PCD，故PC⊥BC。

(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。

由(1)知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。

(方法二)体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。

因为AB∥DC，∠BCD=90⁰，所以∠ABC=90⁰。

从而AB=2，BC=1，得的面积。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。

因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。

又PD=DC=1，所以。

由PC⊥BC，BC=1，得的面积。

由，，得，

故点A到平面PBC的距离等于。

15、(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t满足()·=0，求t的值。

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。

(1)(方法一)由题设知，则

所以

故所求的两条对角线的长分别为、。

(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E(0，1)

又E(0，1)为A、D的中点，所以D(1，4)

　故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；

(2)由题设知：=(－2,－1)，。

由()·=0，得：，

从而所以。

或者：，

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____▲____。

[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。

设剪成的小正三角形的边长为，则：

(方法一)利用导数求函数最小值。

，

，

当时，递减；当时，递增；

故当时，S的最小值是。

(方法二)利用函数的方法求最小值。

令，则：

故当时，S的最小值是。

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=____▲_____。

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。

(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，

，= 4。

(方法二)，

由正弦定理，得：上式=

12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是　　 ▲　　 。

[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。

，，，的最大值是27。

11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。

[解析] 考查分段函数的单调性。