4．合成法与分解法

[例5]如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，球和车厢相对静止，球的质量为1kg．(g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

(1)求车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况．

(2)求悬线对球的拉力．

解析：

(1)球和车厢相对静止，它们的运动情况相同，由于对球的受力情况知道的较多，故应以球为研究对象．球受两个力作用：重力mg和线的拉力F_T，由球随车一起沿水平方向做匀变速直线运动，故其加速度沿水平方向，合外力沿水平方向．做出平行四边形如图所示．球所受的合外力为

F_合＝mgtan37°

由牛顿第二定律F_合＝ma可求得球的加速度为

7.5m/s²

加速度方向水平向右．

车厢可能水平向右做匀加速直线运动，也可能水平向左做匀减速直线运动．

(2)由图可得，线对球的拉力大小为

N=12.5 N

点评：本题解题的关键是根据小球的加速度方向，判断出物体所受合外力的方向，然后画出平行四边形，解其中的三角形就可求得结果．

[例6]如图所示， m =4kg的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37°角。求：

(1)小车以a=g向右加速；

(2)小车以a=g向右减速时，细线对小球的拉力F₁和后壁对小球的压力F₂各多大？

解析：

(1)向右加速时小球对后壁必然有压力，球在三个共点力作用下向右加速。合外力向右，F₂向右，因此G和F₁的合力一定水平向左，所以 F₁的大小可以用平行四边形定则求出：F₁=50N，可见向右加速时F₁的大小与a无关；F₂可在水平方向上用牛顿第二定律列方程：F₂-0.75G =ma计算得F₂=70N。可以看出F₂将随a的增大而增大。(这种情况下用平行四边形定则比用正交分解法简单。)

　(2)必须注意到：向右减速时，F₂有可能减为零，这时小球将离开后壁而“飞”起来。这时细线跟竖直方向的夹角会改变，因此F₁的方向会改变。所以必须先求出这个临界值。当时G和F₁的合力刚好等于ma，所以a的临界值为。当a=g时小球必将离开后壁。不难看出，这时F₁=mg=56N， F₂=0

[例7]如图所示，在箱内倾角为α的固定光滑斜面上用平行于斜面的细线固定一质量为m的木块。求：(1)箱以加速度a匀加速上升，(2)箱以加速度a向左匀加速运动时，线对木块的拉力F₁和斜面对箱的压力F₂各多大？

解：(1)a向上时，由于箱受的合外力竖直向上，重力竖直向下，所以F_1、F₂的合力F必然竖直向上。可先求F，再由F₁=Fsinα和F₂=Fcosα求解，得到： F₁=m(g+a)sinα，F₂=m(g+a)cosα

显然这种方法比正交分解法简单。

(2)a向左时，箱受的三个力都不和加速度在一条直线上，必须用正交分解法。可选择沿斜面方向和垂直于斜面方向进行正交分解，(同时正交分解a)，然后分别沿x、y轴列方程求F₁、F₂：

F₁=m(gsinα-acosα)，F₂=m(gcosα+asinα)

经比较可知，这样正交分解比按照水平、竖直方向正交分解列方程和解方程都简单。

点评：还应该注意到F₁的表达式F₁=m(gsinα-acosα)显示其有可能得负值，这意味着绳对木块的力是推力，这是不可能的。这里又有一个临界值的问题：当向左的加速度a≤gtanα时F₁=m(gsinα-acosα)沿绳向斜上方；当a>gtanα时木块和斜面不再保持相对静止，而是相对于斜面向上滑动，绳子松弛，拉力为零。

3．正交分解法

[例4]如图所示，质量为4 kg的物体静止于水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，物体受到大小为20N，与水平方向成30°角斜向上的拉力F作用时沿水平面做匀加速运动，求物体的加速度是多大?(g取10 m/s²)

解析：以物体为研究对象，其受力情况如图所示，建立平面直角坐标系把F沿两坐标轴方向分解，则两坐标轴上的合力分别为

物体沿水平方向加速运动，设加速度为a，则x轴方向上的加速度a_x＝a，y轴方向上物体没有运动，故a_y＝0，由牛顿第二定律得

所以

又有滑动摩擦力

以上三式代入数据可解得物体的加速度a=0.58 m/s²

点评：当物体的受力情况较复杂时，根据物体所受力的具体情况和运动情况建立合适的直角坐标系，利用正交分解法来解．

2．牛顿第二定律的瞬时性

[例3]如图(1)所示，一质量为m的物体系于长度分别为L₁ 、L₂的两根细线上，L₁的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L₂水平拉直，物体处于平衡状态。现将L₂线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。

(1)下面是某同学对该题的某种解法：

解：设L₁线上拉力为T₁，L₂线上拉力为T₂，重力为mg，物体在三力作用下处于平衡。mg，，解得 =mgtanθ，剪断线的瞬间，T₂突然消失，物体却在T₂反方向获得加速度，因为mgtanθ=ma所以加速度a=gtanθ，方向在T₂反方向。你认为这个结果正确吗？说明理由。

(2)若将图(1)中的细线L₁改为长度相同，质量不计的轻弹簧，如图(2)所示，其它条件不变，求解的步骤和结果与(1)完全相同，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗？请说明理由。

解析：(1)这个结果是错误的。当L₂被剪断的瞬间，因T₂突然消失，而引起L₁上的张力发生突变，使物体的受力情况改变，瞬时加速度沿垂直L₁斜向下方，为a=gsinθ。

(2)这个结果是正确的。当L₂被剪断时，T₂突然消失，而弹簧还来不及形变(变化要有一个过程，不能突变)，因而弹簧的弹力T₁不变，它与重力的合力与T₂是一对平衡力，等值反向，所以L₂剪断时的瞬时加速度为a=gtanθ，方向在T₂的反方向上。

点评：牛顿第二定律F_合＝ma反映了物体的加速度a跟它所受合外力的瞬时对应关系．物体受到外力作用，同时产生了相应的加速度，外力恒定不变，物体的加速度也恒定不变；外力随着时间改变时，加速度也随着时间改变；某一时刻，外力停止作用，其加速度也同时消失．

1．力与运动关系的定性分析

[例1] 如图所示，如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。在小球下落的这一全过程中，下列说法中正确的是

A．小球刚接触弹簧瞬间速度最大

B．从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上

C．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小

D．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的加速度先减小后增大

解析：小球的加速度大小决定于小球受到的合外力。从接触弹簧到到达最低点，弹力从零开始逐渐增大，所以合力先减小后增大，因此加速度先减小后增大。当合力与速度同向时小球速度增大，所以当小球所受弹力和重力大小相等时速度最大。选CD。

[例2]如图所示．弹簧左端固定，右端自由伸长到O点并系住物体m．现将弹簧压缩到A点，然后释放，物体一直可以运动到B点．如果物体受到的阻力恒定，则

A．物体从A到O先加速后减速

B．物体从A到O加速运动，从O到B减速运动

C．物体运动到O点时所受合力为零

D．物体从A到O的过程加速度逐渐减小

解析：物体从A到O的运动过程，弹力方向向右．初始阶段弹力大于阻力，合力方向向右．随着物体向右运动，弹力逐渐减小，合力逐渐减小，由牛顿第二定律可知，此阶段物体的加速度向右且逐渐减小，由于加速度与速度同向，物体的速度逐渐增大．所以初始阶段物体向右做加速度逐渐减小的加速运动．

当物体向右运动至AO间某点(设为O′)时，弹力减小到等于阻力，物体所受合力为零，加速度为零，速度达到最大．

此后，随着物体继续向右移动，弹力继续减小，阻力大于弹力，合力方向变为向左．至O点时弹力减为零，此后弹力向左且逐渐增大．所以物体从O′点后的合力方向均向左且合力逐渐增大，由牛顿第二定律可知，此阶段物体的加速度向左且逐渐增大．由于加速度与速度反向，物体做加速度逐渐增大的减速运动．

正确选项为A、C．

点评：

(1)解答此题容易犯的错误就是认为弹簧无形变时物体的速度最大，加速度为零．这显然是没对物理过程认真分析，靠定势思维得出的结论．要学会分析动态变化过程，分析时要先在脑子里建立起一幅较为清晰的动态图景，再运用概念和规律进行推理和判断．

(2)通过此题，可加深对牛顿第二定律中合外力与加速度间的瞬时关系的理解，加深对速度和加速度间关系的理解．譬如，本题中物体在初始阶段，尽管加速度在逐渐减小，但由于它与速度同向，所以速度仍继续增大．

4．应用牛顿第二定律解题的步骤

(1)明确研究对象。可以以某一个物体为对象，也可以以几个物体组成的质点组为对象。设每个质点的质量为m_i，对应的加速度为a_i，则有：

F_合=m₁a₁+m₂a₂+m₃a₃+……+m_na_n

对这个结论可以这样理解：

先分别以质点组中的每个物体为研究对象用牛顿第二定律：

∑F₁=m₁a₁，∑F₂=m₂a₂，……∑F_n=m_na_n，

将以上各式等号左、右分别相加，其中左边所有力中，凡属于系统内力的，总是成对出现并且大小相等方向相反的，其矢量和必为零，所以最后得到的是该质点组所受的所有外力之和，即合外力F。

(2)对研究对象进行受力分析。同时还应该分析研究对象的运动情况(包括速度、加速度)，并把速度、加速度的方向在受力图旁边画出来。

(3)若研究对象在不共线的两个力作用下做加速运动，一般用平行四边形定则(或三角形定则)解题；若研究对象在不共线的三个以上的力作用下做加速运动，一般用正交分解法解题(注意灵活选取坐标轴的方向，既可以分解力，也可以分解加速度)。

(4)当研究对象在研究过程的不同阶段受力情况有变化时，那就必须分阶段进行受力分析，分阶段列方程求解。

解题要养成良好的习惯。只要严格按照以上步骤解题，同时认真画出受力分析图，标出运动情况，那么问题都能迎刃而解。

3．牛顿第二定律确立了力和运动的关系

牛顿第二定律明确了物体的受力情况和运动情况之间的定量关系。联系物体的受力情况和运动情况的桥梁或纽带就是加速度。

2．对定律的理解：

(1)瞬时性：加速度与合外力在每个瞬时都有大小、方向上的对应关系，这种对应关系表现为：合外力恒定不变时，加速度也保持不变。合外力变化时加速度也随之变化。合外力为零时，加速度也为零。

(2)矢量性：牛顿第二定律公式是矢量式。公式只表示加速度与合外力的大小关系.矢量式的含义在于加速度的方向与合外力的方向始终一致.

(3)同一性：加速度与合外力及质量的关系，是对同一个物体(或物体系)而言。即 F与a均是对同一个研究对象而言。

(4)相对性：牛顿第二定律只适用于惯性参照系。

(5)局限性：牛顿第二定律只适用于低速运动的宏观物体，不适用于高速运动的微观粒子。

1．定律的表述

物体的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合力的方向相同，即F=ma (其中的F和m、a必须相对应)

点评：特别要注意表述的第三句话。因为力和加速度都是矢量，它们的关系除了数量大小的关系外，还有方向之间的关系。明确力和加速度方向，也是正确列出方程的重要环节。

若F为物体受的合外力，那么a表示物体的实际加速度；若F为物体受的某一个方向上的所有力的合力，那么a表示物体在该方向上的分加速度；若F为物体受的若干力中的某一个力，那么a仅表示该力产生的加速度，不是物体的实际加速度。

30.解：设生成二氧化碳的质量为x；所用稀盐酸的溶质质量分数是y

CCO₃+　 2HCl=CaCl₂+H₂O+CO₂↑

100　　　　　 　　73　　　　　 　44

25g×80%　　 　　100g×y　　　　 　　x

100:44=25g×80%:x，解得x=8.8g

100:73=25g×80%:100y，解得y=14.6%

答：生成二氧化碳的质量为8.8g，所用盐酸的溶质质量分数是14.6%。

30.(6分)实验室常用大理石与稀盐酸反应来制取二氧化碳。现用25g含碳酸钙80%的大理石与100g稀盐酸反应制取二氧化碳，恰好完全反应。试计算：

(1)生成二氧化碳的质量是多少？

(2)所用稀盐酸的溶质质量分数是多少？