[例5] 如图所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？(管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计)

解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则，得。

点评：本题在应用机械能守恒定律时仍然是用 建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法。需要注意的是：研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。

[例6]如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，(R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR).已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v₀，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？

解析：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为m，则据机械能守恒定律得：

要游乐车能通过圆形轨道，则必有v>0，所以有

[例7]　 质量为0.02 kg的小球，用细线拴着吊在沿直线行驶着的汽车顶棚上，在汽车　 距车站15 m处开始刹车，在刹车过程中，拴球的细线与竖直方向夹角θ＝37°保持不变，如图所示，汽车到车站恰好停住.求：

　 (1)开始刹车时汽车的速度；

　 (2)汽车在到站停住以后，拴小球细线的最大拉力。(取g＝10 m／s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

解析：(1)小球受力分析如图

因为F_合=mgtanθ=ma

所以a=gtanθ=10× m/s²=7.5 m/s²

对汽车，由 v₀²=2as

得v₀== m/s=15 (m/s)　　　

(2)小球摆到最低点时，拉力最大，设为T，绳长设为l

根据机械能守恒定律，有mg(l-lcosθ)=mv²

在最低点，有T-mg=m，　　

T = mg+2mg(1一cosθ)，

代人数值解得T＝0.28 N

[例8] 如图所示，一根长为，可绕轴在竖直平面内无摩擦转动的细杆，已知，质量相等的两个球分别固定在杆的端，由水平位置自由释放，求轻杆转到竖直位置时两球的速度？

解析：球在同一杆上具有相同的角速度，，组成一个系统，系统重力势能的改变量等于动能的增加量，选取水平位置为零势能面，则：

解得：

[例9] 小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时消除外力。然后，小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，如图所示，试求小球在AB段运动的加速度为多大？

解析：要题的物理过程可分三段：从A到孤匀加速直线运动过程；从B沿圆环运动到C的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C回到A的平抛运动。

根据题意，在C点时，满足

①

从B到C过程，由机械能守恒定律得

②

由①、②式得

从C回到A过程，满足③

水平位移s=vt，④

由③、④式可得s=2R

从A到B过程，满足⑤

∴

[例10]如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度。

　解析：(1)小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为，通过甲环最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，由圆周运动公式有

①

取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律

②

由①、②两式消去v′，可得

同理可得小球滑过D点时的速度，设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理

，

将、代入，

可得

4．应用举例

[例2]如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度v_m。

解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

⑴过程中A的重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。，解得

⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。2mgž2Lcosα=3mgžL(1+sinα)，此式可化简为4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37°，α=16°

⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W_G。设OA从开始转过θ角时B球速度最大，

=2mgž2Lsinθ-3mgžL(1-cosθ)

=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mgžL，解得

点评：本题如果用E_P+E_K= E_P＇+E_K＇这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。用就要简洁得多。下面再看一道例题。

[例3] 如图所示，半径为的光滑半圆上有两个小球，质量分别为，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球升至最高点时两球的速度？

解析：球沿半圆弧运动，绳长不变，两球通过的路程相等，上升的高度为；球下降的高度为；对于系统，由机械能守恒定律得：

　；

[例4]如图所示，均匀铁链长为，平放在距离地面高为的光滑水平面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？

解析：

方法1、选取地面为零势能面：

方法2、桌面为零势能面：

解得：

点评：零势能面选取不同，所列出的表达式不同，虽然最后解得的结果是一样的，但解方程时的简易程度是不同的，从本例可以看出，方法二较为简捷。因此，灵活、准确地选取零势能面，往往会给题目的求解带来方便。

本题用也可以求解，但不如用E_P+E_K= E_P＇+E_K＇简便，同学们可以自己试一下。因此，选用哪一种表达形式，要具体题目具体分析。

5．解题步骤

⑴确定研究对象和研究过程。

⑵判断机械能是否守恒。

⑶选定一种表达式，列式求解。

4．机械能守恒定律的各种表达形式

(1)，即；

(2)；；

点评：用(1)时，需要规定重力势能的参考平面。用(2)时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。

3．对机械能守恒条件的认识

如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律．没有摩擦和介质阻力，这是守恒条件．

具体的讲，如果一个物理过程只有重力做功，是重力势能和动能之间发生相互转化，没有与其它形式的能发生转化，物体的动能和重力势能总和保持不变．如果只有弹簧的弹力做功，弹簧与物体这一系统，弹性势能与动能之间发生相互转化，不与其它形式的能发生转化，所以弹性势能和动能总和保持不变．分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能．如果只是动能和势能的相互转化，而没有与其它形式的能发生转化，则机械能总和不变．如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不发生变化．

[例1] 如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？

解：以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。又由水平方向系统动量守恒可以得知：斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少。

点评：有些同学一看本题说的是光滑斜面，容易错认为物块本身机械能就守恒。这里要提醒两条：⑴由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N和物块的实际位移s的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件。⑵由于水平方向系统动量守恒，斜面一定会向右运动，其动能也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少。

2．对机械能守恒定律的理解：

(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

(2)当研究对象(除地球以外)只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象(除地球以外)由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。

(3)“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。

1．机械能守恒定律的两种表述

(1)在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

(2)如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。

⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？

⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第天的收入(元)与(天)之间的函数关系式？(当天收入＝日销售额-日捕捞成本)

试说明⑵中的函数随的变化情况，并指出在第几天取得最大值，最大值是多少？

23.如图，已知△ABC∽△，相似比为()，且△ABC的三边长分别为、、()，△的三边长分别为、、。

⑴若，求证：；

⑵若，试给出符合条件的一对△ABC和△，使得、、和、、进都是正整数，并加以说明；

⑶若，，是否存在△ABC和△使得？请说明理由。