[例6]如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．(取g=10m/s²)

解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止--具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O．

对于B，T=mg

对于A，

rad/s　　　　 rad/s

所以　 2.9 rad/s rad/s

[例7]一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)．A球的质量为m₁，B球的质量为m₂．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v₀．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m₁、m₂、R与v₀应满足的关系式是______．

解析：这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题．

A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下．若要此时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对B球的压力一定是竖直向下的．

由机械能守恒定律，B球通过圆管最高点时的速度v满足方程

根据牛顿运动定律

对于A球，

对于B球，

又 N₁=N₂

解得　

[例8]如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：

(1)小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?

(2)小球落地点C与B点水平距离s是多少?

解析：

(1)小球由A→B过程中，根据机械能守恒定律有：

　mgR＝　　 ①

　　　　 　　　　 ②

小球在B点时，根据向心力公式有；

　　　　　　 ③

根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为3mg

(2)小球由B→C过程，

水平方向有：s=v_B·t　　　　　 ④ 　

竖直方向有：　　　　　　　　　　　　　 ⑤

　解②④⑤得

[例9]如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度.

解析：设圆周的半径为R，则在C点：

mg=m　　 　①

离开C点，滑块做平抛运动，则2R＝gt²／2　　 ②

v_Ct＝s_AB ③　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由B到C过程：　 mv_C²/2+2mgR＝mv_B²/2　 ④

由A到B运动过程：　 v_B²＝2as_AB　 ⑤　　　

由①②③④⑤式联立得到：　 a=5g／4

4．几个特例

(1)圆锥摆

圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力(弹力的竖直分力和重力互为平衡力)。

[例3] 小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ(小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角)与线速度v、周期T的关系。(小球的半径远小于R。)

解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示有：

　，

由此可得：，

(式中h为小球轨道平面到球心的高度)。

可见，θ越大(即轨迹所在平面越高)，v越大，T越小。

点评：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。

(2)竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类

　这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

①弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有

即，否则不能通过最高点。

②弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：，否则车将离开桥面，做平抛运动。

③弹力既可能向上又可能向下，如管内转(或杆连球、环穿珠)。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：①当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小F<mg时，向心力有两解：mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只有一解：F +mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。

[例4] 如图所示，杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=1mg，求这时小球的瞬时速度大小。

解析：小球所需向心力向下，本题中F=1mg＜mg，所以弹力的方向可能向上也可能向下。⑴若F向上，则　 ⑵若F向下，则

点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。

需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题务必分清。

[例5] 如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R，斜面倾角为θ，s_BC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？

解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所示。可知F＝1.25mg，方向与竖直方向左偏下37º，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。

由圆周运动知识得：

即：

由动能定理有：

联立①、②可求出此时的高度h。

3．处理圆周运动动力学问题的一般步骤：

(1)确定研究对象，进行受力分析；

(2)建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合；

(3)用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解。

2．处理方法：

一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。

做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：F_n=ma_n在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力(可选用等各种形式)。

如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大。如卫星沿椭圆轨道运行时，在远地点和近地点的情况。

1．向心力

(1)大小：

(2)方向：总指向圆心，时刻变化

点评：“向心力”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力。“向心力”不一定是物体所受合外力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变。

5、向心加速度a：

(1)大小：a =² f ²r

(2)方向：总指向圆心，时刻变化

(3)物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

[例1]如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

解析：v_a= v_c，而v_b∶v_c∶v_d =1∶2∶4，所以v_a∶ v_b∶v_c∶v_d =2∶1∶2∶4；ω_a∶ω_b=2∶1，而ω_b=ω_c=ω_d ，所以ω_a∶ω_b∶ω_c∶ω_d =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得a_a∶a_b∶a_c∶a_d=4∶1∶2∶4

点评：凡是直接用皮带传动(包括链条传动、摩擦传动)的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动)的各点角速度相等(轴上的点除外)。

[例2]如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r₀=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R₁=35cm，小齿轮的半径R₂=4.0cm，大齿轮的半径R₃=10.0cm。求大齿轮的转速n₁和摩擦小轮的转速n₂之比。(假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动)

解析：大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n₁∶n₂=2∶175

4、、、、的关系

v==w r

点评：、、，若一个量确定，其余两个量也就确定了，而v还和r有关。

3、周期T、频率f：

作圆周运动的物体运动一周所用的时间,叫周期；单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫频率。即周期的倒数。

2、角速度：

(1)大小：w= (是t时间内半径转过的圆心角)

(2)方向：沿圆周的切线方向，时刻变化

(3)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢

1、线速度

(1)大小：v= (s是t时间内通过的弧长)

(2)方向：沿圆周的切线方向，时刻变化

(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢