2010年2月14日是中国传统的节日--大年初一。中国的春节，是最具文化内涵和传统魅力的节日，也是最有凝聚力的一个节日，回答1~2题。

1、图1中最有可能表示中华民族欢度春节时的光照图是(　　 )

2、当新年钟声敲响时，小华收到了在外国留学的表兄于当地时间2010年2月13日8时发来的短信祝福，小华的表兄最有可能留学在(　　 )

A．美国　　　　　 B．印度　　　　　　 C．瑞典　　　　　　 D．澳大利亚

23、(10分)已知△ABC的三边长为有理数

(1)求证cosA是有理数

(2)对任意正整数n，求证cosnA也是有理数

(1)设三边长分别为，，∵是有理数，均可表示为(为互质的整数)形式∴必能表示为(为互质的整数)形式，∴cosA是有理数

(2)∵，∴也是有理数，

当时，∵

∴，

∵cosA，是有理数，∴是有理数，∴是有理数，……，依次类推，当为有理数时，必为有理数。

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23、(10分)某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立

(3)记x(单位：万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列

(4)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

解：(1)

(2)依题意，至少需要生产3件一等品

答：…………

22、(10分)某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立

(1)记x(单位：万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列

(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

20.(16分)设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.

(1)设函数，其中为实数

①求证：函数具有性质

②求函数的单调区间

(2)已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围

(1)估计该问题目有错，似乎为，则有如下解答：

①

∵时，恒成立，

∴函数具有性质

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [理科附加题]

21(从以下四个题中任选两个作答，每题10分)

(1)几何证明选讲

AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC

(2)矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A₁,B₁,C₁,△A₁B₁C₁的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值

(3)参数方程与极坐标

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值

(4)不等式证明选讲

已知实数a,b≥0，求证：

19．(16分)设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.

①求数列的通项公式(用表示)

②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为

18.(16分)在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T()的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，，其中m>0,

①设动点P满足,求点P的轨迹

②设，求点T的坐标

③设,求证：直线MN必过x轴上的一定点

(其坐标与m无关)

直线,

化简得

令，解得，即直线过轴上定点。

17、(14分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m)，如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大

16、(14分)如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=90⁰

(1)求证：PC⊥BC

(2)求点A到平面PBC的距离

解析：(1)∵PD⊥平面ABCD，∴，又，∴面，∴。

(2)设点A到平面PBC的距离为，

∵,∴

容易求出

15、(14分)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长

(2)设实数t满足()·=0，求t的值

解析：(1)

求两条对角线长即为求与，

由，得，

由，得。

(2)，

∵()·，

易求，，

所以由()·=0得。