21．(本小题满分14分)

已知函数在其定义域上满足．

(1)函数的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心(不证明)；

(2)当时，求x的取值范围；

(3)若，数列满足，那么：

①若，正整数N满足时，对所有适合上述条件的数列，恒成立，求最小的N；

②若，求证：．

20．(本小题满分13分)

已知双曲线的离心率为e，右顶点为A，左、右焦点分别为、，点E为右准线上的动点，的最大值为．

(1)若双曲线的左焦点为，一条渐近线的方程为，求双曲线的方程；

(2)求(用表示)；

(3)如图，如果直线l与双曲线的交点为P、Q，与两条渐近线的交点为、，O为坐标原点，求证：．

19．(本小题满分12分)

已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止．

(1)求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；

(2)记恰好在第k次测试时3件次品全部被测出的概率为，求的最大值和最小值．

18．(本小题满分12分)

设函数．

(1)求的单调区间；

(2)若对所有的，均有成立，求实数的取值范围．

17．(本小题满分12分)

如图，在边长为a的正方体中，M、N、P、Q分别为AD、CD、、的中点．

(1)求点P到平面MNQ的距离；

(2)求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．

16．(本小题满分12分)

在中，．

(1)求的值；

(2)若，且的面积为，求实数的值．

15．给出下列四个命题：

①“向量的夹角为锐角”的充要条件是“”；

②如果，则对任意的、，且，都有；

③将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入1个球，共有72种不同的放法；

④记函数的反函数为，要得到的图象，可以先将的图象关于直线做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位，即得到的图象．

其中真命题的序号是　　　　　　　 ．(请写出所有真命题的序号)

14．计算，可以采用以下方法：

构造恒等式，两边对x求导，得

，在上式中令，得

．

类比上述计算方法，计算　　　　　 ．

13．一次单元测验由50道选择题组成，每题选择正确得3分，不选或选错得0分，满分150分．若小明选对任一题的概率均为，则小明在这次测验中成绩的标准差是　　 分．

12．若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为　　 ．