10.8g　　　　 　　　16g

得：M=10.7　　　 　因10.7<M<35.3　 所以碱金属R为钠

题目本身存在多个未知数，为了解题的需要，根据题意采取极端假设，减少未知数，把问题或过程推向极限，使复杂的问题变为单一化、极端化和简单化的问题，从而得到某些特殊的值即极大值和极小值，根据极大值和极小值来确定问题的所在范围。

例1：己知相对原子质量：Li为6.9；Na为23；K为39；Rb为85。今有某碱金属R及其氧化物R₂O的混合物10.8g，加足量的水，充分反应后，溶液经蒸发、干燥，得16g固体。试经计算确定是哪一种金属。

解：设R的相对原子质量为M

假设混合物全是碱金属，则有

2R + 2H₂O == 2ROH + H₂↑

2M　　　　　 2(M+17)

10.8g　　　　 16g　　　　　　

解得：M=35.3

假设混合物全是碱金属氧化物，则有

R₂O　 +　 H₂O　 ==　 2ROH

2M+16　　　　　　 2(R+17)

11.有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度v₀与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失.碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示.

(1)已知滑块质量为m，碰撞时间为Δt，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小.

(2)为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑(经分析，A下滑过程中不会脱离轨道).

a.分析A沿轨道下滑到任意一点的动量p_A与B平抛经过该点的动量p_B的大小关系；

b.在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°.求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度.

[2008年高考·北京理综卷]

解析：(1)滑块A与B正碰，有：

mv₀＝mv_A+mv_B

mv＝mv+mv

解得：v_A＝0，v_B＝v₀，

根据动量定理，滑块B满足：F·Δt＝mv₀

解得：F＝.

(2)a.设任意点到O点竖直高度差为d.

A、 B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒.

选该任意点为势能零点，有：

E_kA＝mgd，E_kB＝mgd+mv

由于p＝，有＝＝＜1

即p_A<p_B

A下滑到任意一点的动量总是小于B平抛经过该点的动量.

b.以O为原点，建立直角坐标系xOy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则对B有：

x＝v₀t

y＝gt²

B的轨迹方程：y＝·x²

在M点x＝y，所以y＝

因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同.设B水平和竖直分速度大小分别为v_Bx和v_By，速率为v_B；A水平和竖直分速度大小分别为v_Ax和v_Ay，速率为v_A，则：

＝，＝

B做平抛运动，故

v_Bx＝v₀，y_By＝，v_B＝

对A由机械能守恒得v_A＝

由以上三式解得：v_Ax＝，v_Ay＝

将代y＝入得：v_Ax＝v₀，v_Ay＝v₀.

　答案：(1)　(2)a.p_A＜p_B　b.v₀，v₀

10.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，如图所示，它由可见星A和不可见的暗星B构成.两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变.引力常量为G，由观测能够得到可见星 A的速率 v和运行周期 T.

(1)可见星A所受暗星 B的引力 F_A 可等效为位于 O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为 m₁、m₂，试求m′. (用m₁、m₂ 表示)

(2)求暗星B的质量m₂ 与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁ 之间的关系式.

(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v＝2.7×10⁵ m/s，运行周期T＝4.7π×10⁴ s，质量m₁＝6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？ (G＝6.67×10^－11　 N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³⁰ kg)[2006年高考·天津理综卷]

解析：(1)设 A、B的圆轨道半径分别为 r₁、 r₂ ，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有：

F_A＝m₁ ω²r₁

F_B＝m₂ω²r₂

F_A＝F_B

设A、B之间的距离为r，又r＝r₁+r₂，由上述各式得：

r＝r₁

由万有引力定律，有：

F_A＝G

联立解得：F_A＝G

令F_A＝G

比较可得：m′＝.

　(2)由牛顿第二定律，有：

　G＝m₁

可见星A的轨道半径r₁＝

将m′代入，可解得：＝.

(3)将m₁＝6m_s代入上式，得：

＝

代入数据得：＝3.5m_s

设m₂＝nm_s(n>0)，可得：

＝m_s＝3.5m_s

可见，的值随n的增大而增大，试令n＝2，得：

m_s＝0.125m_s<3.5m_s

故n必大于2，即暗星B的质量m₂必大于2m_s.由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.

　答案：(1)　(2)＝

(3)有可能

6.一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行.认为行星是密度均匀的球体.要确定该行星的密度，只需要测量[2006年高考·北京理综卷](　)

A.飞船的轨道半径　 B.飞船的运行速度

C.飞船的运行周期　　　　　　　　　　　　　 D.行星的质量

解析：“飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行”，可以认为飞船的轨道半径与行星的半径相等.飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律有：G＝m()²R，由上式可得：＝，可得行星的密度ρ＝.上式表明：只要测得卫星公转的周期，即可得到行星的密度，选项C正确.

　答案：C

4.1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展.假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行.已知地球半径为6.4×10⁶ m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×10⁷ m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期.以下数据中最接近其运行周期的是[2008年高考·四川理综卷](　)

A.0.6 h　B.1.6 h　C.4.0 h　D.24 h

解析：由开普勒行星运动定律可知，＝恒量，所以＝，r为地球的半径，h₁、t₁、h₂、t₂分别表示望远镜到地表的距离，望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期(24 h)，代入数据得：t₁＝1.6 h.

　答案：B

2.如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向被抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足[2008年高考·全国理综卷Ⅰ](　)

A.tan φ＝sin θ　　B.tan φ＝cos θ

C.tan φ＝tan θ　 D.tan φ＝2tan θ

解析：小球落在斜面上，位移与水平方向夹角为θ，则有

tan θ＝＝

速度与水平方向的夹角φ满足：

tan φ＝

故tan φ＝2tan θ，选项D正确.

　答案：D

1.在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地.若不计空气阻力，则[2006年高考·天津理综卷](　)

A.垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定

B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定

C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定

D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定

解析：垒球的运动是平抛运动，根据平抛运动规律可得垒球落地速度v₁＝＝，其中h为垒球下落的高度，A错；同理，垒球落地时速度的方向与水平方向的夹角φ＝arctan ＝arctan ，与高度h有关，B错；水平位移x＝v₀t＝v₀，C错；而运动时间t＝，D正确.

　答案：D

11.有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度v₀与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失.碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示.

(1)已知滑块质量为m，碰撞时间为Δt，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小.

(2)为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑(经分析，A下滑过程中不会脱离轨道).

a.分析A沿轨道下滑到任意一点的动量p_A与B平抛经过该点的动量p_B的大小关系；

b.在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°.求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度.

[2008年高考·北京理综卷]

解析：(1)滑块A与B正碰，有：

mv₀＝mv_A+mv_B

mv＝mv+mv

解得：v_A＝0，v_B＝v₀，

根据动量定理，滑块B满足：F·Δt＝mv₀

解得：F＝.

(2)a.设任意点到O点竖直高度差为d.

A、 B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒.

选该任意点为势能零点，有：

E_kA＝mgd，E_kB＝mgd+mv

由于p＝，有＝＝＜1

即p_A<p_B

A下滑到任意一点的动量总是小于B平抛经过该点的动量.

b.以O为原点，建立直角坐标系xOy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则对B有：

x＝v₀t

y＝gt²

B的轨迹方程：y＝·x²

在M点x＝y，所以y＝

因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同.设B水平和竖直分速度大小分别为v_Bx和v_By，速率为v_B；A水平和竖直分速度大小分别为v_Ax和v_Ay，速率为v_A，则：

＝，＝

B做平抛运动，故

v_Bx＝v₀，y_By＝，v_B＝

对A由机械能守恒得v_A＝

由以上三式解得：v_Ax＝，v_Ay＝

将代y＝入得：v_Ax＝v₀，v_Ay＝v₀.

　答案：(1)　(2)a.p_A＜p_B　b.v₀，v₀

第24讲　单 元 小 结

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10.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，如图所示，它由可见星A和不可见的暗星B构成.两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变.引力常量为G，由观测能够得到可见星 A的速率 v和运行周期 T.

(1)可见星A所受暗星 B的引力 F_A 可等效为位于 O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为 m₁、m₂，试求m′. (用m₁、m₂ 表示)

(2)求暗星B的质量m₂ 与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁ 之间的关系式.

(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v＝2.7×10⁵ m/s，运行周期T＝4.7π×10⁴ s，质量m₁＝6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？ (G＝6.67×10^－11　 N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³⁰ kg)[2006年高考·天津理综卷]

解析：(1)设 A、B的圆轨道半径分别为 r₁、 r₂ ，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有：

F_A＝m₁ ω²r₁

F_B＝m₂ω²r₂

F_A＝F_B

设A、B之间的距离为r，又r＝r₁+r₂，由上述各式得：

r＝r₁

由万有引力定律，有：

F_A＝G

联立解得：F_A＝G

令F_A＝G

比较可得：m′＝.

　(2)由牛顿第二定律，有：

　G＝m₁

可见星A的轨道半径r₁＝

将m′代入，可解得：＝.

(3)将m₁＝6m_s代入上式，得：

＝

代入数据得：＝3.5m_s

设m₂＝nm_s(n>0)，可得：

＝m_s＝3.5m_s

可见，的值随n的增大而增大，试令n＝2，得：

m_s＝0.125m_s<3.5m_s

故n必大于2，即暗星B的质量m₂必大于2m_s.由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.

　答案：(1)　(2)＝

(3)有可能