5．在等比数列 中有如下性质:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)若

(2)下标成等差数列的项构成等比数列

(3)连续若干项的和也构成等比数列.

4．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且

3．前n项和

注:应用前n项和公式时,一定要区分 的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.

2．通项公式 ,推广形式: ,变式

1．定义与定义式

从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.

优化设计

5．简单性质:(1)

(2) 组成公差为 的等差数列.

(3) 组成公差为 的等差数列.

4．中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c

1．定义：

例1.(1)在等差数列 中,已知

解:设首项为 ,公差为 ,

则

(2)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,

求这个数列项数.

　解:

,

(3)已知 为等差数列,前10项的和为 前100项的和 ,求前110项的和

优化设计P39典例剖析例2

分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项 与公差 的两个方程.

解法一:设 的首项为 ,公差 ,则

分析二:运用前n项和变式:

解法二: 为等差数列,故可设 ,

则

解法三：

例2 数列 的前n项和为Sn=npa_n(n )且a₁=a₂，

(1)　　 求常数p的值；

(2)　　 证明：数列 是等差数列。

详见优化设计P39典例剖析例1，解答过程略。

例3．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所相同项的和。

分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。

解：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为 ，则

∵数列5，8，11，…和3，7，11…的公差分别为3与4

又因为数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别是302和399， 所以两个数列有25个相同的项。

其和

分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。

解：设数列5，8，11，…和3，7，11…分别为

设 中的第n项与 中的第m项相同，即

根据题意得：

从而有25个相同的项，且公差为12，其和

例4. 已知数列 的前n项和 ，求数列{|a_n|}的前n项和Tn.

详见优化设计P39深化拓展例3，解答过程略。

例5.已知数列 的首项 ,通项 与前n项和 之间满足

(1)求证: 是等差数列,并求公差;

(2)求数列 的通项公式;

(3)数列 中是否存在正整数k,使得不等式 对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.

解:(1)

当

(2)

(3) 所求最小k=3.