优化设计

3．适当注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度。

2．方程的思想、整体代换思想、分类讨论思想；

1．等比数列的定义、通项、中项、求和；

4．等比数列综合题

例5　 设各项均为正数的数列 和 满足 ， ， 成等比数列，lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差数列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3，求通项a_n，b_n。

详见优化设计P 42典例剖析例3，解答略。

备用题：(01年全国高考)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a_n万元，旅游业收入为b_n万元，写出a_n、b_n的表达式。

(2)至少经过多少年旅游业总收入才能超过总投入？

思维分析：建立等比数列模型

解：(1)

(2) ，至少经过5年。

3.数学应用题----数列建模

例4.一个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第10次着地时,共经过了多少米?

思维分析:数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出 ，再结合数列相关性质解题。

解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了 ，因此球第十次着地时共经过的路程为

练习 变式4：一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元,一年定期，若年利润率为r，保持不变，且每年到期时，存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款(含利息)全部取回，则取回总钱数为多少？

解:

2.关于等比数列的证明

例3.数列 的通项公式分别是 它们公共项由小到大排列的数列是 ,①写出 的前5项　　 ②证明 是等比数列

思维分析:容易证明 是等比数列,由定义式,只需找出 中任意相邻两项关系即可.

解(1) 的前5项为:8、32、128、512、2048

(2)设

1．关于基本公式的运用

例1． 已知等比数列 中，a₁+a₂+a₃=7，a₁a₂a₃=8，求a_n。

详见优化设计P41典例剖析例1，解答略。

变式：将该题中的等比数列改为等差数列，结果是多少？

例2．已知数列 为等差数列，公差d≠0， 的部分项组成下列数列： ， ，…， ，恰为等比数列，其中k₁=1, k₂=5, k₃=17，求k₁+k₂+k₃+…+k_n。

详见优化设计P41典例剖析例2，解答略。

7．解决等比数列有关问题的常见思维方法

(1)方程的思想(“知三求二”问题)

(2)分类的思想

①运用等比数列的求和公式时,需要对 讨论

②当

　　 ( )

6．证明数列为等比数列的方法:

(1)定义法:若

(2)等比中项法:若

(3)通项法:若 　

(4)前n项和法:若