5.已知数列中,
,且对
时,有
.
(Ⅰ)设数列满足
,证明数列
为等比数列,并求数列
的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列
的前n项和Sn.
4.在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则
是这个数列的第_________项.
1. 等差数列{an}中,Sn是其前n项和,则S2008的值为
2:已知等比数列中
,则其前三项的和
的取值范围是
3:定义“等积数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一常数,那么这个数列叫做已知数列,这个常数叫该数列的公鸡积,已知数列I等级数列,且
=2,公积为5,
为数列
的前n项和,则
=
8. 解:由数列中各项均为1,知数列
是首项为
,公差为1的等差数列,所以,
.这说明,
是关于
的二次函数,且二次项系数为
,由
,得
,从而
.
点评:等差比数列的通项公式和前n项和的公式是数列中的基础知识,必须牢固掌握.
三 范例剖析
例1 数列的前
项和记为
.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)等差数列的各项为正,其前
项和为
,且
,又
成等比数列,求
.
辨析:已知数列的前三项与数列
的前三项对应相同,且
对任意的
都成立,数列
是等差数列.
⑴求数列与
的通项公式;
⑵是否存在,使得
,请说明理由.
例2 已知各项均为正数的数列{}满足
(
),且
是
的等差中项.
(Ⅰ)求数列{}的通项公式
;
(Ⅱ)若=
,求使S
>50成立的正整数n的
最小值.
变式: 已知递增的等比数列{}满足
,且
是
,
的等差中项.
(1)
求{}的通项公式
;
(2) 若,
求使
成立的
的最小值.
例3 数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足:an+2-2an+1+an=0(n∈N*),
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设,是否存在最大的整数m,使得任意的n均有
总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由.
辨析:已知数列{an}的前n项为和Sn,点(n,)在直线y= x+上.数列{bn}满足 bn+2-2bn+1+bn=0(nÎN*),且b3=11,前9项和为153.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn= ,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对一切nÎN*都成立的最大正整数k的值;
(3)设nÎN*,f(n)= 问是否存在mÎN*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
四 巩固训练
7.解:,
,则有
,
,
.,
时,
6.解:. 解:设
,则有
.
当时,
,而
,
;当
时,
,即
,而
,
,则
,故
4. 解:84 5. 解:.=
.
3.解:解法1:“若,则
”解析:
=
解法2: 可设,
,则
,
,则
=
2.解:依题意,中间项为,于是有
解得
.1分析:本题主要是考查等比数列的基本概念和性质,可利用方程思想将等比数列问题转化为
和
处理,也可利用等比数列的定义进行求解.设公比为
,由题知,
得
或
(舍去),∴
1.解:利用等差数列的性质得: ,
,
=
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