4、了解线性回归的方法，会求线性回归方程。

3、正态分布的意义、主要性质及应用；

2、用样本的频率去估计总体分布；

1、理解三种抽样方法的特点；

例1：某批零件共160个，其中一级品有48个，二级品64个，三级品32个，等外品16个．从中抽取一个容量为20的样本．请说明分别用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率相同．

解：(1)简单随机抽样法：可采用抽签法，将160个零件按1-160编号，相应地制做1-160号的160个签，从中随机抽20个。显然每个个体被抽到的概率为 。

(2)系统抽样法：将160个零件按1-160编号，按编号顺序分成20组，每组8个。先在第一组用抽签法抽得 号 ，则在其余组中分别抽得第 号，此时每个个体被抽到的概率为 。

(3)分层抽样法：按比例 ，分别在一级品，二级品，三级品，等外品，是抽取 个， 个， 个， 个。每个个体被抽到的概率分别为 ， ， ， ，即都是 。

综上所述，无论采取哪种抽样，总体和每个个体被抽到的概率都是 。

说明：三种抽样方法的共同点就是每个个体被抽到的概率相同，这样样本的抽取体现了公平性和客观性。

例2：将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在 ，液体的温度 (单位： )是一个随机变量，且 。

(1)　　　 若 ，求 的概率

(2)　　　 若要保持液体的温度至少为 的概率不低于0.99，问 至少是多少？(其中若 )。

剖析：(1)要求P( )＝F(89)，因为 不是标准正态分布，而给出的是 ，故需转化为标准正态分布的数值。

(2)转化为标准正态分布下的数值求概率 ，再利用

解：(1)

(2)由已知 满足

说明：(1)若

(2)标准正态分布的密度函数 是偶函数， 时， 为增函数， 时， 为减函数。

例3：已知测量误差 ，必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过 的频率大于0.9？

解：设 表示 次测量中绝对误差不超过 的次数，则 其中

由题意，

，

因此，至少要进行3次测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过 的概率大于0.9。

例4：有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：

(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计数据小于30.5的概率。

解：(1)样本的频率分布如下：

(2)频率分布直方图如图

(3)数据大于等于30.5的频率是0.08，所以，小于30.5的频率是0.92. 所以，小于30.5的概率约是0.92.

例5：一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据：

(1)　　 画出散点图

(2)　　 求月成本与月产量之间的回归直线方程。

解：(1)画出散点图如图所示：

(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算

于是由公式可得： ，

因此所求的回归直线方程是

说明：求线性回归直线方程的步骤：

(1)画散点图观察相关性(2)列出表格，求出某些数据(3)代入公式求得a,b，进而得到直线方程。

4、线性回归：

(1)相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。注：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。

(2)回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。

(3)散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形。

(4)回归直线方程： ，其中 ，　 。相应的直线叫回归直线，对两个变量所进行的上述统计叫做回归分析。

(5)相关系数：

相关系数的性质：

(1)|r|≤1。

(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小

3、正态分布的概念及主要性质：

①正态分布的概念：如果连续型随机变量ξ的概率密度曲线为 ，其中 为常数，并且 ，则称ξ服从正态分布，简记为 。

②正态分布的期望与方差：若 ，则 。

③正态分布的主要性质：Ⅰ)曲线在x轴上方，并且关于直线x=μ对称；Ⅱ)曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右延伸时，曲线逐渐降低；Ⅲ)曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越：“矮胖”；反之曲线越“高瘦”。

④标准正态分布：当μ=0，σ=1时， 可以写成 ，这时称ξ服从标准正态分布，简记为 。

⑤标准正态分布的函数表：

由于标准正态分布应用十分广泛，已制成专门的标准正态函数表，供人们查阅。在标准正态分布表中，相应于每一个 的函数值Φ 是指总体取小于 的值的概率(函数Φ 实际上是正态总体N(0,1)的累积分布函数)，即Φ = 。 φ

⑥若 ，则① ，②

2、总体分布的估计：随着试验次数的不断增加,试验结果的频率值在相应的概率值附近摆动.当试验次数无限增大时,频率值就变成相应的概率了.此时随着样本容量无限增大其频率分布也就会排除抽样误差,精确地反映总体取的概率分布规律,通常称为总体分布.

用样本的频率分布去估计总体分布：由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体分布,一般地,样本容量越大,估计越精确.

总体分布的估计的两种方式(1)频率分布表 (2)频率分布直方图。

1.三种常用抽样方法:

(1)简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。

简单随机抽样的常用方法：①抽签法，②随机数表法

用随机数表进行抽样的步骤：①将总体中的个体编号；②选定开始号码；③获取样本号码。

(2)系统抽样(也称为机械抽样)：当总体的个数较多时，采用简单随机抽样较为费事。这时可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样)。

系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号；②整个的编号分段(即分成几个部分)，要确定分段的间隔k。当N/n(N为总体中的个体的个数，n为样本容量)是整数时，k=N/n;当N/n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数N^‘能被n整除，这时k=N′/n；③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号1；④按照事先确定的规则抽取样本(通常是将1加上间隔k得到第2个编号1+k,第3个编号1+2k，这样继续下去，直到获取整个样本)。

(3)分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几个部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做“分层抽样”，其中所分成的各部分叫做“层”。

三种抽样方法的比较

2、　 常生产生活中的一些问题，我们可以转化为数学问题，借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知识解决。同时，要提高分析问题和解决问题的能力，必须关注生产和生活。