2．　 可导函数的极值

(1)　　　 极值的概念

设函数f(x)在点x₀附近有定义，且若对x₀附近所有的点都有f(x) f(x₀)(或f(x) f(x₀))，则称f(x₀)为函数的一个极大(小)值，称x₀为极大(小)值点。

(2)　　　 求可导函数f(x)极值的步骤

①求导数 ；②求方程 =0的根；③检验 在方程 =0的根的左右的符号，如果根的左侧为正，右侧为负，则函数在此处取得极大值；如果在根的左侧为负，右侧为正，则函数在此处取得极小值。

1．　 函数的单调性

(1)　　　 设函数y=f(x)在某个区间内可导，若 0，则f(x)为增函数；若 0，则f(x)为减函数。

(2)　　　 求可导函数单调区间的一般步骤和方法。

①确定函数f(x)的定义区间；

②求 ，令 =0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

③把函数f(x)的间断点[即包括f(x)的无定义点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

④确定 在各小区间内的符号，根据 的符号判定f(x)在每个相应小开区间内的增减性。

14.2导数的应用

[知识点精讲]

5．　 掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。

[作业布置]

优化设计

4．　 掌握常见函数的导数公式，并会正确运用；

3．　 了解导数的几何意义；

2．　 会用定义式求导数；

1．　 了解导数的概念，初步会用定义式解决一些问题；

6．复合函数的导数：设函数u= (x)在点x处有导数u′_x= ′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′_u=f′(u)，则复合函数y=f( 　(x))在点x处也有导数，且 　或f′_x( 　(x))=f′(u) ′(x).

[例题选讲]

例1　　　　　 若 。

优化设计P213典例剖析例1，解答略。

例2　　　　　 求下列函数的导数：

(1)y=x²sinx；(2)y=ln(x+ )；(3)y= ；(4)y= ；(5)y=(1+cos2x)²；(6)y=sinx³+sin³x.

(1)~(4)见优化设计P213典例剖析例3，解答略。(5) = -4sin2x(1+cos2x)；(6) =3x²cosx³+3sin²xcosx.

例3　　　　　 设函数y=ax³+bx²+cx+d在的图象与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0.若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式。

见优化P214第6题(解答略)

例4　　　　　 利用导数求和：

(1)　　　 S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1(x≠0, N^*);

(2)　　　 S_n= ( 　N^*).

见优化P214第9题(解答略)

[课堂小结]

5．导数的四则运算法则：

； ；

　 ；