2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．

1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；

Ⅰ.课题导入

[创设情境]

提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

Ⅱ.讲授新课

[范例讲解]

例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)

学生看图思考并讲述解题思路

分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。

解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，

AC= = ≈113.15

根据正弦定理, =　 　　sinCAB = 　= ≈0.3255,

所以 CAB =19.0,　　 75- CAB =56.0

答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile

例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

解法一：(用正弦定理求解)由已知可得在ACD中，

　　　　 AC=BC=30，　　　　 AD=DC=10，　　　 ADC =180-4，

　　　 = 。　　　　 因为　 sin4=2sin2cos2

　　 cos2=,得　 2=30　　 =15，　 在RtADE中，AE=ADsin60=15

答：所求角为15，建筑物高度为15m

解法二：(设方程来求解)设DE= x，AE=h

　　　 在 RtACE中,(10+ x) + h=30　　　 在 RtADE中,x+h=(10)

　　　 两式相减，得x=5,h=15　　　 在 RtACE中,tan2==

2=30,=15

　答：所求角为15，建筑物高度为15m

解法三：(用倍角公式求解)设建筑物高为AE=8，由题意，得

BAC=，　 CAD=2，　　 AC = BC =30m , AD = CD =10m

在RtACE中，sin2=------ ①　　 在RtADE中，sin4=, ---- ②

　 ②① 得　　　 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15

答：所求角为15，建筑物高度为15m

例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,

ACB=+=

(14x) = 9+ (10x) 　-2910xcos

化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)

所以BC = 10x =15,AB =14x =21,

又因为sinBAC ===

BAC =38,或BAC =141(钝角不合题意，舍去)，

38+=83

答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

Ⅲ.课堂练习

课本第16页练习

Ⅳ.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：

(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

Ⅴ.课后作业

　　 《习案》作业六

重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系

难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题

3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。

2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题

(1)定理的表示形式：；

或，，

(2)正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

[探索研究]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有，，又,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

则　　　　　　　　　　 　　

从而在直角三角形ABC中，　　 　　　　　

思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？(由学生讨论、分析)

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，(1)当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，

有CD=,则，　　　　　　　　　　　　　 C

同理可得，　　　　　　　　　　　　　 　　b　　　　　　　 a

从而　　　　　　　　　　　　　 　A　　　　 c　　　　 B

(2)当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)

思考2：还有其方法吗？

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。

(证法二)：过点A作单位向量，　　 由向量的加法可得　　

则 　　　　　

∴　　　　　

　∴，即

同理，过点C作，可得　 　　　　从而

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

[理解定理]

(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，

即存在正数k使，，；

(2)等价于，，

思考：正弦定理的基本作用是什么？

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例1．在中，已知，，cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

；

根据正弦定理， ；

根据正弦定理，　

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

练习：在中，已知下列条件解三角形。

(1)，，， 　　(2)，，

例2． 在中，已知cm，cm，，解三角形(角度精确到，边长精确到1cm)。

解：根据正弦定理，

　　　 　　　 因为＜＜，所以，或

⑴ 当时，　 ，

⑵ 当时，，

应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

课堂练习

第4页练习第2题。

思考题：在ABC中，，这个k与ABC有什么关系？

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。　　　　　　

思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？