下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?(教材上的P48面)

1，2，4，8，16，…，2⁶³;　 　①　　　 1，，，，…；　　　　 　②

1，，…；　　 ③　　　 　　④

对于数列①，= ; 　=2(n≥2)．对于数列②， =；(n≥2)．

对于数列③，= ;　 =20(n≥2)．

共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．

5．已知等差数列{a_n}，3 a₅ =8 a₁₂， a₁<0，设前n项和为S_n,求S_n取最小值时n的值．

[分析]求等差数列前n项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由完成.

解法一:

点(n,S_n)是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数的图象上,其对称轴距离x=15.7最近的整数点(16,S₁₆),　　　

解法二: 　　

4．已知等差数列{a_n},满足a_n =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少?

解法一:由

解法二:

令

．

3．首项为正数的等差数列{a_n},它的前3项之和与前11项之和相等,问此数列前多少项之和最大?

解法一:由S₃=S₁₁　　　　 得:　　 解之得

故当n=7时, Sn 最大,即前7项之和最大.

解法二:由　

解得:，所以n=7,即前7项之和最大.

解法三:由知: {a_n}是递减的等差数列.

又S₃=S₁₁,

　 必有，前7项之和最大．

2. 数列{a_n}是首项为正数a₁的等差数列,又S₉= S₁₇.问数列的前几项和最大?

解:由S₉= S₁₇得9a₅=17 a₉,

说明:．

　作业：《习案》作业十四。

补充题：(依情况而定)

1．(1)已知等差数列{a_n}的a_n＝24－3n，则前多少项和最大？

(2)已知等差数列{b_n}的通项b_n＝2n-17,则前多少项和最小?

解：(1)由a_n＝24－3n知当时，，当时，，前8项或前7项的和取最大值.

(2)由bn＝2n－17n知当时，，当时，，　 前8项的和取最小值.

求＂等差数列前n项和的最值问题＂常用的方法有：

(1)满足的n值；

(2)由利用二次函数的性质求n的值；

(3)利用等差数列的性质求．

2. 教学等差数列前项和的最值问题：

① 例题讲解：

例2、数列是等差数列，. (1)从第几项开始有；(2)求此数列的前 项和的最大值.

结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：

(1)　　　 当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值；

当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值.

(2)由利用二次函数配方法求得最值时n的值.

练习：在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值.

例3、已知等差数列的前n项的和为，求使得最大的序号n的值。

　归纳：(1)当等差数列{a_n}首项为正数，公差小于零时，它的前n项的和为有最大值，可以通过

　　　　　 求得n

(2)当等差数列{a_n}首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和为有最小值，可以通过

　　 　　　求得n

1、探究：等差数列的前项和公式是一个常数项为零的二次式.

例1、已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

[结论]数列的前项和与的关系：

由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=.

练习：已知数列的前项和，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？

　探究：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？

(是，，).

由此，等差数列的前项和公式可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式.

2、在等差数列{a_n}中 　(1) 若a₅=a, a₁₀=b, 求a₁₅;　　　　　 (2) 若a₃+a₈=m, 求a₅+a₆; 　(3) 若a₅=6, a₈=15, 求a₁₄;　　　　　 (4) 若a₁+a₂+…+a₅=30, a₆+a₇+…+a₁₀=80,求a₁₁+a₁₂+…+a₁₅.