3.判断数列是否为等比数列的方法.
2.等比数列的性质;
1.等比中项的定义;
例4.
已知无穷数列,
求证:(1)这个数列成等比数列;
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的;
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.
证:(1)(常数)∴该数列成等比数列.
(2),即:
.
(3),∵
,∴
.
∴且
,
∴,(第
项).
4.等比数列的增减性:当q>1, a1>0或0<q<1, a1<0时, {an}是递增数列;
当q>1, a1<0,或0<q<1, a1>0时, {an}是递减数列;
当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列.
思考:通项为的数列的图象与函数
的图象有什么关系?
3.判断等比数列的常用方法:定义法,中项法,通项公式法
例3.已知是项数相同的等比数列,求证
是等比数列.
证明:设数列的首项是
,公比为
;
的首项为
,公比为
,那么数列
的第n项与第n+1项分别
它是一个与n无关的常数,所以是一个以q1q2为公比的等比数列.
思考;(1){an}是等比数列,C是不为0的常数,数列是等比数列吗?
(2)已知是项数相同的等比数列,
是等比数列吗?
2.等比数列的性质:若m+n=p+k,则
在等比数列中,m+n=p+q,有什么关系呢?
由定义得:
,
则
例2. 已知{}是等比数列,且
, 求
.
解: ∵{}是等比数列,∴
+2
+
=(
+
)
=25,
又>0, ∴
+
=5;
思考:类比等差中项的概念,你能说出什么是等比中项吗?
1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a, G,b成等比数列,那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±(a,b同号)
,则
,
反之,若G=ab,则
,即a,G,b成等比数列
∴a,G,b成等比数列
G
=ab(a·b≠0)
例1.三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.
解:设m,G,n为所求的三个数,
有已知得m+n+ G =14, ,
这三个数为8,4,2或2,4,8.
解法二:设所求三个数分别为则
又 解得
这三个数为8,4,2或2,4,8.
4.求下面等比数列的第4项与第5项:
(1)5,-15,45,……;(2)1.2,2.4,4.8,……;(3),…….
3.{an}成等比数列
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