2、要取分二项式系数与展开式项的系数的异同。

1、二项式定理及二项式系数的性质。通项公式。

例1．(1) 等于　　 (　　 )

A． 　 B。 　　 C。 　　 D.

(2)若 为奇数，则 被9除得的余数是　 (　　 )

A．0　 B。2　　 C。7　　 D.8

解：(1)设 ，于是：

=

故选D

(2)

=

因为 为奇数，所以原式=

所以，其余数 为7，选C

例2．(1)(优化设计P179例1)如果在 　的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。

(2)(优化设计P179例2)求 的展开式的常数项。

(3)在 的展开式中，求 的系数(即含 的项的系数)

解：(1)展开式中前三项的系数分别为1， 　， ，

由题意得：2× =1+ 得 =8。

设第r+1项为有理项， ，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。

有理项为 。

[思维点拨] 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。

(2)法一： ，其展开式的通项为 ，令 得

所以，常数项为

法二：解析： = 得到常数的情况有：①三个括号中全取-2，得(-2)³ ②一个括号取 ，一个括号取 ，一个括号取-2，得 =-12，因此常数项为-20。

(3) =

含 的项为 　,即含 的项的系数为240

　[思维点拨] 密切注意通项公式的使用。

练习：(优化设计P180思考讨论)(1)在 的展开式中，求 的系数。

(2)求 的展开式中的常数项。

(3)求 … 的展开式中 的系数。

解:(1)原式= ,展开式中 的系数为

(2) = ，展开式中的常数项为

(3)方法一：原式= 　

的系数为 。

方法二：展开式中 的系数为： … …

…

例3(优化设计P180例3)、设a_n＝1+q+q²+…+q^n－1(n∈N^*，q≠±1)，

A_n＝C a₁+C a₂+…+C a_n.

(1)　　　 用q 和n 表示A_n

(2)　　　 当 时,求

解：∵q≠1，∴a_n＝ .

∴A_n＝C a₁+C a₂+…+C a_n

＝ C + C +…+ C

＝ [(C +C +C +…+C )－(C +qC +q²C +…+qⁿC )]

＝

(2) 　因为 且q≠1，所以

所以 =

[思维点拨]：本题逆用了二项式定理及C +C +…+C ＝2ⁿ，这些重要的数学模型常常运用于解题过程中.

例4、若 = ，求(1) ― 的值。(2) 的值。

[解析]：(1)在使用赋值法前，应先将 变形为：

― =

才能发现 应取什么特殊值：

令 = ―1，则 =

令 =1则 =

因此： ― = · = =1

(2)因为 = = ，而

所以， = ―16

　[思维点拨] 用赋值法时要注意展开式的形式。

思考题：设

则 ― 　　　　

解: 　

所以, ―

　 =0

备用题：

例5已知 。

(1)　　　 若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数。

(2)　　　 若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。

[解](1)∵ ∴ =7或 =14。

当 =7时，展开式中二项式系数最大的项是T₄和T₅

T₄的系数= ；T₅的系数=

当 =14时展开式中二项式系数最大是项是T₈，

T₈的系数= 。

(2)　　　　　 由 =79，可得 =12，设 顶的系数最大。

∵ ，∴ ，∴9.4< <10.4 即 =10，

故展开式中系数最大的项为T₁₁ 。

[思维点拨]二项式系数与展开式某一项系数是不同的概念。

例6：当 且 >1，求证

证明:

　　 从而

[思维点拨]这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。

4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项， 是第r+1项。

②通项是 　 (r=0,1,2,……,n)中含有 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。

③注意二项式系数与某一项系数的异同。

④当n不是很大，| |比较小时可以用展开式的前几项求 的近似值。

3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。

2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。

1． 知识精讲：

(1)二项式定理： ( )

其通项是 　 (r=0,1,2,……,n)，知4求1，如：

亦可写成：

( )

特别地： ( )

其中， --二项式系数。而系数是字母前的常数。

(2)二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即 偶数： ；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即 。

③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于 即 ；

奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即

(3)二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明： 取 的展开式中的四项即可。

处理排列组合应用题的规律

(1)两种思路：直接法，间接法

(2)两种途径：元素分析法，位置分析法

　 (3)对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提。

　 (4)基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，均匀分组法，逆向思考法等

例1(优化设计P178例1)、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？

解法一： 问题分成三类：(1)甲乙二人均不参加，有 种；(2)甲、乙二人有且仅有1人参加，有2 ( － )种；(3)甲、乙二人均参加，有 ( －2 + )种，故共有252种．

解法二：六人中取四人参加的种数为 ，从6人中选4人的排列组合数减去甲跑第一棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再减去乙跑第四棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余4人中选2人的排列组合数

－ ＝252种

[评述]对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种．

例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：

(1)有女生但人数必须少于男生．

(2)某女生一定要担任语文科代表．

(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．

(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表．

解：(1)先取后排,有 种,后排有 种,共有 ＝5400种．

(2)除去该女生后先取后排： 种．

(3)先取后排,但先安排该男生： 种．

(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有 种,再安排该男生有 种,其余3人全排有 种,共 =360种．

[思维点拨]特殊元素或特殊位置首先考虑

例3(优化设计P178例2)、对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?

解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有 种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有 种，前4次测试中的顺序有 种，由分步计数原理即得： ( ) ＝576。

[评述]本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素(即组合)后排列

例4(优化设计P178例3)、在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有多少种?

解: 依题意，A，B两种作物的间隔至少6垄，至多8垄。分3种情况：(1)若A、B之间隔6垄，这样的选垄方法有3A 种.

(2)若A、B之间隔7垄，这样的选垄方法有2A 种.

(3)若A、B之间隔8垄，有A 种方法.

根据分类计数原理可有3A +2A +A ＝6A ＝12种不同的选垄方法.

例5(优化设计P178例4)、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

解法一：　①前后各一个，有8×12×2＝192种方法

　②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法

③两人都在前排：

两人都在前排左边的四个位置：

　此种情况共有4+2＝6种方法

　因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6+6＝12种方法

　④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右

　∴　甲左乙右总共有 种方法．同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192+32+12+110＝346种

解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻，9号座位与10号座位不算相邻，共有 种

备用题：

例6、有6本不同的书

(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？

(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？

(3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？

(4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？

(5)分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？

(6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？

解：(1)在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有 (种)。

(2)6本书平均分成3堆，用上述方法重复了 倍，故共有 (种)。

(3)从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有 (种)

(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有 (种)。

(5)平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有 (种)。

(6)本题即为6本书放在6个位置上，共有 (种)。

例7、(1)10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？

(2)10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？

解：(1)如果按指标的个数进行分类，讨论比较复杂，可构造模型，即用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即 即为所求。

(2)先拿3个指标分别给二班1个，三班2个，则问题转化为7个优秀名额分给三个班，每班至少一个，同(1)知 即为所求。

解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：

特殊优先法: 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。

科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生

插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决

捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列

排列组合的综合问题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.