12．(2008·海南、宁夏)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求y＝f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

[解]　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.

当x＝2时，y＝.

又f′(x)＝a+，

于是解得

故f(x)＝x－.

(2)设P(x₀，y₀)为曲线上任一点，由y′＝1+知曲线在点P(x₀，y₀)处的切线方程为y－y₀＝(1+)(x－x₀)，

即y－(x₀－)＝(1+)(x－x₀)．

令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．

令y＝x得y＝x＝2x₀，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x_0,2x₀)．

所以点P(x₀，y₀)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x₀|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

亲爱的同学请写上你的学习心得

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11．求下列函数的导数：

(1)y＝x；

(2)y＝(+1)(－1)；

(3)y＝x－sin·cos；

(4)y＝.

(5)(理)y＝sin²

[解]　(1)∵y＝x＝x³+1+，

∴y′＝3x²－；

(2)∵y＝(+1)＝·－+－1

＝－x+x^－，

∴y′＝－x－－x－＝－；

(3)∵y＝x－sin·cos＝x－sinx，

∴y′＝1－cosx；

(4)化简函数y＝＝

＝－cosx－sinx，

∴y′＝(－cosx)′－(sinx)′＝sinx－cosx.

(5)解法一：设y＝u²，u＝sinv，v＝2x+，则

y′＝y_u′·u_v′·v_x′＝2u·cosv·2

＝4sinv·cosv＝2sin2v＝2sin.

解法二：y′＝′

＝2sin·′

＝2sin·cos·′

＝4sincos

＝2sin.

10．(2009·福建)若曲线f(x)＝ax³+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是________．

[解析]　由题意可知f′(x)＝2ax²+，又因为存在垂直于y轴的切线，

所以2ax²+＝0⇒a＝－(x＞0)⇒a∈(－∞，0)．

[答案]　(－∞，0)

9．(2008·江苏)直线y＝x+b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.

[解析]　本小题考查导数的几何意义、切线的求法．y′＝，令＝得x＝2，故切点(2，ln2)代入直线方程，得，所以b＝ln2－1.

[答案]　ln2－1

8．在曲线y＝x³+3x²+6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．

[解析]　y′＝3x²+6x+6＝3(x+1)²+3≥3，当x＝－1时，y′最小值为3，当x＝－1时，y＝－14，所以斜率最小的切线方程为y－(－14)＝3(x+1)，即3x－y－11＝0.

[答案]　3x－y－11＝0

7．已知函数f(x)＝2ln3x+8x，则li 的值为________．

[解析]　由定义，知li ＝－2li ＝－2f′(1)＝－20.

[答案]　－20

6．(2009·安徽)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x²+8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是

(　)

A．y＝2x－1　 　　　　　　　　　　　　　 B．y＝x

C．y＝3x－2　 　　　　　　　　　　　　　 D．y＝－2x+3

[解析]　由f(x)＝2f(2－x)－x²+8x－8得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)²+8(2－x)－8，

即2f(x)－f(2－x)＝x²+4x－4，

∴f(x)＝x²，∴f′(x)＝2x，

∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0选A.

[答案]　A

5．正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是

(　)

A．[0, ]∪[，π)　 　　　　　　　　　　　　　　　 B．[0，π)

C．[，]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．[0，]∪[，]

[解析]　y′＝cosx，其值域为以点P为切点的切线的斜率的取值范围，为[－1,1]，结合正切函数图象及直线倾斜角取值范围[0，π)可知本题答案为[0, ]∪[，π)．

[答案]　A

4．若曲线y＝2x²的一条切线l与直线x+4y－8＝0垂直，则切线l的方程为

(　)

A．4x－y－2＝0　 　　　　　　　　　　　　　　 B．x+4y－9＝0

C．4x－y+3＝0　 　　　　　　　　　　　　　　 D．x+4y+3＝0

[解析]　与直线x+4y－8＝0垂直的直线l为4x－y+m＝0即y＝2x²在某一点的导数为4，而y′＝4x，所以y＝2x²在(1,2)处导数为4，此点的切线为4x－y－2＝0，故选A.

[答案]　A

3．曲线y＝x³+x在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形面积是

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　∵y′＝x²+1，∴y′|_x＝1＝2，

∴在点(1，)处的切线为y－＝2(x－1)．

从而在x轴，y轴上的截距分别是与－.

因此所求面积S＝××＝.

[答案]　A