1、知识精讲：

1)当x→∞时函数f(x)的极限:

　　 当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→+∞时,f(x)→a)

当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→-∞时,f(x)→a)

注：自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的，而x→∞是双向的，故有以下等价命题

2)当x→x₀时函数f(x)的极限:

当自变量x无限趋近于常数x₀(但x≠x₀)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于x₀时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→x₀时,f(x)→a)

注：与函数f(x)在点x₀处是否有定义及是否等于f(x₀)都无关。

3)函数f(x)的左、右极限:

如果当x从点x=x₀左侧(即x＜x₀)无限趋近于x₀时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的左极限，记作。

如果当x从点x=x₀右侧(即x＞x₀)无限趋近于x₀时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的右极限，记作。

注：。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。

注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限；

②时，，③时，的值不唯一。

4)函数极限的运算法则：

与函数极限的运算法则类似, 如果那么

注：以上规则对于x→∞的情况仍然成立。

5．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得( C　 )

　　　 A．当n=6时该命题不成立　　　 B．当n=6时该命题成立

　　　 C．当n=4时该命题不成立　　　 D．当n=4时该命题成立

[典型例题选讲]

[例1]用数学归纳法证明下述等式问题：

(Ⅰ).

[证明]

. 当时，左边，右边，∴左边=右边，时等式成立；

. 假设时等式成立，即

，

∴当时，左边

=右边，即时等式成立，

根据，等式对都正确.

[例2]用数学归纳法证明下述整除问题：

(Ⅰ)求证：能被6 整除.

[证明]

. 当时，1³+5×1=6能被6整除，命题正确；

. 假设时命题正确，即能被6整除，

∴当时，

，

∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，

能被6整除，即当时命题也正确，

由知命题时都正确.

例3、(优化设计P202例1)比较2ⁿ与n²的大小

剖析：比较两数(或式)大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.

解：当n=1时，2¹＞1²，

当n=2时，2²=2²，当n=3时，2³＜3²，

当n=4时，2⁴=4²，当n=5时，2⁵＞5²，

猜想：当n≥5时，2ⁿ＞n².

下面用数学归纳法证明：

(1)当n=5时，2⁵＞5²成立.

(2)假设n=k(k∈N *，k≥5)时2^k＞k²，

那么2^k+1=2·2^k=2^k+2^k＞k²+(1+1)^k＞k²+C+C+C=k²+2k+1=(k+1) ².

∴当n=k+1时，2ⁿ＞n².

由(1)(2)可知，对n≥5的一切自然数2ⁿ＞n²都成立.

综上，得当n=1或n≥5时，2ⁿ＞n²；当n=2，4时，2ⁿ=n²；当n=3时，2ⁿ＜n².

评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.

例4、是否存在常数使 a、b、c　　 等式 　　　对一切正整数n成立？证明你的结论。

剖析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切n∈N*，a、b、c所确定的等式都成立.

解：分别用n=1，2，3代入解方程组

下面用数学归纳法证明.

(1)当n=1时，由上可知等式成立;

(2)假设当n=k+1时，等式成立，

则当n=k+1时，左边=1·［(k+1)²－1²］+2［(k+1)²－2²］+…+k［(k+1)²－k²］+(k+1)［(k+1)²－(k+1)²］=1·(k²－1²)+2(k²－2²)+…+k(k²－k²)+1·(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)

=k⁴+(－)k²+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=(k+1)⁴－(k+1)².

∴当n=k+1时，等式成立.

由(1)(2)得等式对一切的n∈N*均成立.

评述：本题是探索性命题，它通过观察--归纳--猜想--证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力.

[例3](2003年全国)设a₀为常数，且a_n=3^n－1－2a_n－1(n∈N*).证明：n≥1时，a_n=[3ⁿ+(－1)^n－1·2ⁿ］+(－1)ⁿ·2ⁿ·a₀.

剖析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证.

证明：(1)当n=1时，［3+2］－2a₀=1－2a₀，而a₁=3⁰－2a₀=1－2a₀.

∴当n=1时，通项公式正确.

(2)假设n=k(k∈N*)时正确，即a_k=［3^k+(－1)^k－1·2^k］+(－1)^k·2^k·a₀，

那么a_k+1=3^k－2a_k=3^k－×3^k+(－1)^k·2^k+(－1)^k+1·2^k+1a₀

=·3^k+(－1)^k·2^k+1+(－1)^k+1·2^k+1·a₀

=［3^k+1+(－1)^k·2^k+1］+(－1)^k+1·2^k+1·a₀.∴当n=k+1时，通项公式正确.

由(1)(2)可知，对n∈N*，a_n=［3ⁿ+(－1)^n－1·2ⁿ］+(－1)ⁿ·2ⁿ·a₀.

评述：由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键.

例5、(优化设计P202例3) 设为常数，且

　 证明对任意；

证法一：(i)当n=1时，由已知a₁=1－2a₀，等式成立；

　 (ii)假设当n=k(k≥1)等式成立，则

　　 那么

　　 也就是说，当n=k+1时，等式也成立.　 根据(i)和(ii)，可知等式对任何n∈N，成立.

　证法二：如果设　 用代入，可解出.

所以是公比为－2，首项为的等比数列.　

　 即

备用：平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数为f(n)= .

证明：(1)当n=2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)=×2×(2－1)=1，

因此，当n=2时，命题成立.

(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)等于k(k－1).现在来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的一条直线，记为l.

　(如例3图所示).由上述归纳法的假设，除l以外的其他k条直线的交点个数为f(k)=k(k－1).

另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的k·(k－1)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是k(k－1)+k=k［(k－1)+2］=(k+1)［(k+1)－1］.

这就是说，当n=k+1时，k+1条直线的交点个数为

f(k+1)=(k+1)［(k+1)－1］.

根据(1)、(2)可知命题对任何大于1的正整数都成立．

[小结]

用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值n₀并验证真假(必不可少).“假设n=k时命题正确”并写出命题形式

分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别弄清左端应增加的项明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等可明确为：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉　

[作业]教材闯关训练。

4．用数学归纳法证明“”()时，从“”时，左边应增添的式子是　　　　　　　 (　 B　 )

　　　 A．　　　　　 B．　　　 C．　　　　　 D．

3．用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是(　 B )

　　　 A．　 B．　 C．　 D．

2．设，则( D　 )

　　　 A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

1．已知n为正偶数，用数学归纳法证明

　 时，若已假设为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证　　　　 (B　 )

　　　 A．时等式成立　　　　　　 B．时等式成立

　　　 C．时等式成立　　　　　 D．时等式成立

3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n有关的命题”都有效.

基础题：

2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.

1．用数学归纳法证题要注意下面几点：

①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；

②成败的关键取决于第二步对的证明：1)突破对“归纳假设”的运用；2)用好命题的条件；3)正确选择与命题有关的知识及变换技巧.

3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当n取第一个值n₀结论正确；

(2)假设当n=k(k∈N^*，且k≥n₀)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.

由(1)，(2)可知，命题对于从n₀开始的所有正整数n都正确

递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.