2.(2003年北京)若数列{a_n}的通项公式是a_n=,n=1,2,…,则 (a₁+a₂+…+a_n)等于

A.　　　　　　　 B.　　　　　 　　C.　　　　　　 D.

解析:a_n=

即a_n=

∴a₁+a₂+…+a_n=(2^－1+2^－3+2^－5+…)+(3^－2+3^－4+3^－6+…).

∴(a₁+a₂+…+a_n)=+=

答案:C

1.已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则的值是

A.2　　　　　　　 B.3　　　　　　 C.　　　　　　　 D.6

解析:由=2,得a=2b.

由=3,得b=3c,∴c=b.

∴=6.

∴== =6.

答案:D

2. ［n(1－)(1－)(1－)…(1－)］等于

A.0　　　　 　　　 B.1　 　　　　　　　　　 　C.2　 　　　　　　　 　　D.3

解析: ［n(1－)(1－)(1－)…(1－)］

=［n××××…×］

==2.

答案:C

●典例剖析

[例1] 求下列极限：

(1);(2) (－n);

(3)(++…+).

剖析:(1)因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n²后再求极限；(2)因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.

解:(1)==.

(2) (－n)= ==.

(3)原式===(1+)=1.

评述:对于(1)要避免下面两种错误：①原式===1,②∵(2n ²+n+7), (5n²+7)不存在，∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误：　　　　　 ①(－n)= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在.对于(3)要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.

[例2] 已知数列{a_n}是由正数构成的数列，a₁＝3，且满足lga_n＝lga_n－1+lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．

(1)求数列{a_n}的通项公式及前n和S_n；

(2)求的值．

解:(1)由已知得a_n＝c·a_n－1,

∴{a_n}是以a₁＝3，公比为c的等比数列，则a_n＝3·c^n－1.

∴S_n＝

(2) ＝.

①当c=2时，原式＝－;

②当c＞2时，原式＝＝－;

③当0＜c＜2时，原式=＝.

评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.

[例3] 已知直线l:x－ny=0(n∈N *),圆M:(x+1)²+(y+1)²=1,抛物线:y=(x－1)²,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求.

剖析:要求的值，必须先求它与n的关系.

解:设圆心M(－1,－1)到直线l的距离为d,则d²=.

又r=1,∴|AB|²=4(1－d²)=.

设点C(x₁,y₁), D(x₂,y₂)，

由nx²－(2n+1)x+n=0,

∴x₁+x₂=, x₁·x₂=1.

∵(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂=,(y₁－y₂)²=(－)²=,

∴|CD|²=(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²

=(4n+1)(n²+1).

∴===2.

评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法.

[例4] 若数列{a_n}的首项为a₁=1,且对任意n∈N*,a_n与a_n+1恰为方程x²－b_nx+cⁿ=0的两根,其中0＜|c|＜1,当 (b₁+b₂+…+b_n)≤3,求c的取值范围.

解:首先,由题意对任意n∈N*,a_n·a_n+1=cⁿ恒成立.

∴===c.又a₁·a₂=a₂=c.

∴a₁,a₃,a₅,…,a_2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a₂,a₄,a₆,…,a_2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,a_n+a_n+1=b_n恒成立.

∴==c.又b₁=a₁+a₂=1+c,b₂=a₂+a₃=2c,

∴b₁,b₃,b₅,…,b_2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b₂,b₄,b₆,…,b_2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,

∴ (b₁+b₂+b₃+…+b_n)= (b₁+b₃+b₅+…)+ (b₂+b₄+…)=+≤3.

解得c≤或c＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0.

故c的取值范围是(－1,0)∪(0,］.

评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{b_n}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.

●闯关训练

夯实基础

1.下列极限正确的个数是

①=0(α＞0)　 ②qⁿ=0

③=－1　 　④C=C(C为常数)

A.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.3

C.4　　　　　　　　　　　 　　　　　　　D.都不正确

解析:①③④正确.

答案:B

3.数列极限的四则运算法则：设数列{a_n}、{b_n}，

当a_n=a, b_n=b时， (a_n±b_n)=a±b;

　(a_n·b_n)=a·b; =(b≠0).

●点击双基

2.几个常用的极限：①C=C(C为常数);②=0;③qⁿ=0(|q|＜1).

1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{a_n}的项a_n无限地趋近于某个常数a(即|a_n－a|无限地接近于0)，那么就说数列{a_n}以a为极限.

注：a不一定是{a_n}中的项.

小结 ：有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积)；两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和(或积)的极限时，一般要化简，再求极限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x的最高次幂；④有理化法

3.几个重要极限：

　 (1)　　　　　 (2)(C是常数)

　 (3)无穷等比数列()的极限是0，即　

例1．求下列各极限

解：(1)原式=

(2)原式=

(3)因为，而，，所以不存在。

(4)原式==

(5)，但时，→+∞。可知时，不存在。

[思维点拨]①解此类问题常用的手段是“消因子”与“因式有理化”。

②第(5)小题易与数列极限相混，数列极限中特指，而函数极限中的包括了与。

例2　求下列极限：

；

解：(1)

(2)

解:(1) f (x)= 　(2x+b)=b,f(x)= 　(1+2^x)=2,

当且仅当b=2时, f (x)= f (x),

故b=2时,原极限存在.

(2)由于f(x)是多项式,且=1,

∴可设f (x)=4x³+x²+ax+b(a、b为待定系数).

又∵=5,

即(4x²+x+a+)=5,

∴a=5,b=0,即f (x)=4x³+x²+5x.

评述:(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.

(2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.

练习：设　 ，问a，b为何值时，存在。

解：，。当b=2时有，与a无关。故当b=2，a为任何实数时，存在。

[思维点拨]存在

部析:应先求出f (x)的解析式，再判断连续性.

解:当0≤x＜1时，f (x)= x=x;

当x＞1时，f (x)= ·x=·x=－x;

当x=1时，f (x)=0.

∴f (x)=[i]

∵f(x)=(－x)=－1,f(x)= x=1,

∴f(x)不存在.

∴f (x)在x=1处不连续，f (x)在定义域内的其余点都连续.

图象如下图所示.

评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.

例5：已知求

解法一：为方程的一根，得，

代人可得

解法二：=

，代人可得

例6：为多项式，且，求。

解：∵是多项式，且，∴，为待定系数，即，又，即，∴，

即。

[思维点拨]待定系数法是求函数解析式的常用方法。

2、重点难点：对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用函数极限的运算法则解题。