3.有关对称轴

观察正、余弦函数的图形，可知

y=sinx的对称轴为x=　　 k∈Z

y=cosx的对称轴为x=　　 k∈Z (1)写出函数的对称轴； (2)的一条对称轴是( C )

(A)　 x轴，　 (B)　 y轴，　 (C)　 直线，　 (D)　 直线

2.单调性

从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：

当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.

当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

1.　　 奇偶性　

请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？

(1)余弦函数的图形

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。

例如：

f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；……

由于cos(－x)=cosx 　　∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点(x,y)是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

例如：函数f(x)=x²+1, f(x)=x⁴-2等都是偶函数。

(2)正弦函数的图形

观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？

这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点(x,y)是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点(-x,-y)也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。

例如：函数y=x,　 y=　 都是奇函数。

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：

(1)其定义域关于原点对称；

(2)f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。

首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

P53：A组1　　　 P54：B组1

2、图形变换

平移、翻转等

1、五点(画图)法　

(1)作法　　 先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。

(2)用途　 只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。

(3)关键点

横坐标：0　　 π/2　　 π　　 3π/2　　 2π

●探究1　

如何利用y=sinx，x∈(0，2π)的图象，通过图形变换(平移、翻转等)来得到(1)y＝1+sinx ,x∈(0，2π)的图象；(2)y=sin(x- π/3)的图象？

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

●探究2　　

如何利用y=cos x，x∈(0，2π)的图象，通过图形变换(平移、翻转等)来得到y＝-cosx ，x∈(0，2π)的图象？

小结：这两个图像关于X轴对称。

●探究3

如何利用y=cos x，x∈(0，2π)的图象，通过图形变换(平移、翻转等)来得到y＝2-cosx ，x∈(0，2π)的图象？

小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，

再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx　 的图象。

●探究4　

不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。

小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx

这两个函数相等，图象重合。

例1．　　　 画出下列函数的简图：

(1)　　　 y＝1+sinx ，x∈(0，2π)

(2)　　　 y＝－cosx ，x∈(0，2π)

解：(1) 按五个关键点列表：

x	0		π		2π
Sinx	0	1	0	－1	0
1+ Sinx	1	2	1	0	1

描点、连线，画出简图。

(2)按五个关键点列表：

x	0		π		2π
Cosx	1	0	-1	0	1
- Cosx	-1	0	1	0	-1

描点、连线，画出简图。

3．用五点法作出y=cosx,xÎ[0,2p]的图象

补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象

2．分别在[-4p,4p]内作出y=sinx和y=cosx的图象