4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

　　　　 　　教材P123闯关训练

3. 椭圆中 的关系与双曲线中 的关系是不同的，应注意区分运用。

2.　　 利用点在曲线上列方程求参数值，利用曲线的范围列不等式解参数范围，在圆锥曲线解题过程中应重视这方面的应用。

1.　　 渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念，渐进线方程为 的双曲线方程可设为 。

例1：根据下列条件，求双曲线方程：

(1) 与双曲线 有共同渐近线，且过点 ；

(2) 与双曲线 有公共焦点，且过点 。

[解]：(1)设所求双曲线方程为 ，将点 代入得 ，

所以双曲线方程为 。

(2)设双曲线方程为 ，将点 代入得 ，

所以双曲线方程为 。

[思维点拨]利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。

例2：在双曲线 上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。

[解]：设P点的坐标为 ， 分别为双曲线的左，右焦点。

∵双曲线的准线方程为 。　 ∴ 　 ∵ 　 ∴P在双曲线的右支上。　　 ∴ 　 ∴ 。把 代入方程 得 。　 所以，P点的坐标为( ， )

[思维点拨]运用焦半径公式，解题简洁明了.

例3．(2002年全国，19)设点P到点M(－1，0)，N(1，0)距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。

解：设点P的坐标为(x,y)，依题意得 。　 (1)

　因此，点P(x.y),M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得

　 ，

　因此，点P在以M，N为焦点，实轴长为2 的双曲线上，故 　 (2)

　将(1)代入(2)，并解得 ，

　解得0＜ ，即m的取值范围为 。

[思维点拨]本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。

例4：已知双曲线 的离心率 ，左，右焦点分别的为 ，左准线为 ，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得 是P到 的距离 与 的等比中项。

[解]：设在左半支上存在点P，使 ，由双曲线的第二定义知 ，即 　　　　　　 ①

再由双曲线的第一定义，得 　　　 ②

由①②，解得：

由在Δ 中有　 ，　　 　　　③

利用 ，从③式得 　　 解得

，与已知 矛盾。　　 ∴符合条件的点P不存在。

[思维点拨]利用定义及假设求出离心率的取值是关键。

例5．如图，在双曲线 的上支有三点 ，它们与点F(0，5)的距离成等差数列。

(1)　　　 求

(2)　　　 证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标

解：(1) 故F双曲线的焦点，设准线为 ，离心率为 ，

由题设有 　　(1)

分别过A、B、C作x轴的垂线 ，则由双曲线的第二定义有 ，代入(1)式，得 ，于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有

(2)AC的中垂线方程为 　　(2)

由于A、C在双曲线上，所以有

相减得

故(2)式化为 ，易知此直线过定点 。

[思维点拨]利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。

例6：(备用) 已知双曲线的焦点在 轴上，且过点 和 ，P是双曲线上异于A、B的任一点，如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。

[解]：设双曲线方程为 为双曲线上任一点，BN，PM是ΔAPB的两条高，则BN方程为 　　 ①　　　　 PM方程为 　 ②

又 　 ③　　　 得 ，又H在双曲线上，∴ 　 ④

∴ ，所以双曲线方程为

[思维点拨]设方程，消参数。

例7：(备用)双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 ，它的两个焦点分别为F₁，F₂，直线 过F₂且与直线F₁F₂的夹角为 ，且 ， 与线段F₁F₂的垂直平分线的交点为P，线段P F₂与双曲线的交点为Q，且 : = : ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。

[解]：以F₁F₂的中心为原点，F₁，F₂所在的直线为 轴建立坐标系，

则所求双曲线方程为 ，设 ，

不妨设 的方程为 ，它与 轴交点

由定比分点坐标公式Q点的坐标为 　 即

由点Q在双曲线上可得　　 　①　 又 　②　 　③

解得 ，所以双曲线方程为

4.思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。