例4　 经过抛物线y²=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。

解：A(-2p,0),设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k 0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为 ，由于AC与AB垂直，则AC的方程为 ，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为 ，又M为BC中点，设M(x,y),则 ，消去k得y²=px,即点M的轨迹是抛物线。

例3　 　如图，从双曲线x²-y²=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。

解：设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x₁,y₁)

则N( 2x-x₁,2y-y₁)代入x+y=2,得2x-x₁+2y-y₁=2　　 ①　　 又PQ垂直于直线x+y=2，故 ，即x-y+y₁-x₁=0　　 ②

由①②解方程组得 , 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x²-2y²-2x+2y-1=0

练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)

例2　 　如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=60⁰，问怎能样运才能最省工？

解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有 ，即 ，故M在以A，B为焦点的双曲线的右支上。建立如图直角坐标系，得边界的方程为 ,故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。

说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。

练习： 已知圆O的方程为 x²+y²=100,点A的坐标为(-6，0)，M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。

解：由中垂线知， 故 ，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为(-3，0)，故P点的方程为

例1　 已知直角坐标系中，点Q(2，0)，圆C的方程为 ，动点M到圆C的切线长与 的比等于常数 ，求动点M的轨迹。

解：设MN切圆C于N，则 。设 ,则

　 化简得

(1)　　　 当 时，方程为 ，表示一条直线。

(2)　　　 当 时，方程化为 表示一个圆。

说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

练习：(待定系数法题型)在 中， ，且 的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点，且过点P的椭圆方程。

解答过程参考教材P129页例1。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

[典型例题选讲]

1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。

6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。