解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用常用方法。本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。

2、对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解

1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。

例1.　 A，B是抛物线 上的两点，且OA (O为坐标原点)求证：

(1)A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植；

(2)直线AB经过一个定点

证明：(1)设

两式相乘得

　　　　 所以直线AB过定点(2p,0)

例2、(2005年春季北京，18)如图，O为坐标原点，直线 在 轴和 轴上的截距分别是 和 ，且交抛物线 两点。

(1)　　　 写出直线 的截距式方程

(2)　　　 证明：

(3)　　　 当 时，求 的大小。(图见教材P135页例1)

解：(1)直线 的截距式方程为 。　　　(1)

(2)、由(1)及 消去 可得 　　　(2)

点M，N的坐标 为(2)的两个根。故

所以

(3)、设直线OM、ON的斜率分别为

当 时，由(2)知，

因此 。

说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。

例3、(2005年黄冈高三调研考题)已知椭圆C的方程为 ，双曲线 的两条渐近线为 ，过椭圆C的右焦点F作直线 ，使 ，又 与 交于P点，设 与椭圆C的两个交点由上而下依次为A、B。(图见教材P135页例2)

(1)　　　 当 夹角为 ，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程

(2)　　　 当 时，求 的最大值。

解：(1) 双曲线的渐近线为 ，两渐近线的夹角为 ，又 ，

(3)　　 由已知

由 得 ，将A点坐标代入椭圆方程得

说明：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。

例4、A，F分别是椭圆 的一个上顶点与上焦点，位于x轴的正半轴上的动点T(t,0)与F的连线交射线OA于Q，求：

(1)　　　 点A，F的坐标及直线TQ的方程;

(2)　　　 三角形OTQ的面积S与t的函数关系式及该函数的最小值

(3)　　　 写出该函数的单调递增区间,并证明.

解:(1)由题意得A(1,3),F(1,1)

直线TQ得方程为x+(t-1)y-t=0

(2)射线OA的方程y=3x

所以S(t)的最小值为

(3)S(t)在 上是增函数

所以该函数在

1知识精讲：

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.

2重点难点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用.

3思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等.

4特别注意：要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

[作业]教材P131闯关训练。

1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

1．直接法，2．定义法，3．代入法，4．参数法，5．交轨法，6．几何法，7.待定系数法，8.点差法。

例6(2004年福建，22)如图，P是抛物线C： 上一点，直线 过点P且与抛物线C交于另一点Q。若直线 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。(图见教材P129页例2)。

解：设

由 　　　(1)

得 ， 过点P的切线的斜率 ，

直线 的斜率 ， 直线 的方程为 　　(2)

方法一、(利用韦达定理、中点坐标公式)联立(1)(2)消去 得，

M为PQ的中点，

消去

PQ中点为M的轨迹方程为

方法二(点差法)由

得

则 。

将上式代入(2)并整理，得

　　 PQ中点为M的轨迹方程为

说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。

[小结]

例5 抛物线 的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。(考例5)

解1(交轨法)：点A、B在抛物线 上，设A( ，B( 所以k_OA= 　k_OB= ,由OA垂直OB得k_OA k_OB = -1，得y_Ay_B= -16p² ,又AB方程可求得 ，即(y_A+y_B)y--4px--y_Ay_B=0,把 y_Ay_B= -16p²代入得AB方程(y_A+y_B)y--4px+16p² =0　 ①　　　 又OM的方程为 　　②　　　

由①②消去得y_A+y_B即得 ，　　　 即得 。

所以点M的轨迹方程为 ，其轨迹是以 为圆心，半径为 的圆,除去点(0，0)。

说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

解2(几何法)：由解1中AB方程(y_A+y_B)y--4px+16p² =0 可得AB过定点(4p,0)而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆。所以方程为 ，除去点(0，0)。