4.(上海文，17)点P(4，－2)与圆上任一点连续的中点轨迹方程是　　(　 )

A.　　　 　B.

C.　　　D.

[解析]设圆上任一点为Q(s，t)，PQ的中点为A(x，y)，则，解得：，代入圆方程，得(2x－4)²+(2y+2)²＝4，整理，得：

[答案]A

1.(辽宁理，4)已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为

A.　　　　　 B.

C.　　　　　 D.

解法3(验证法)：将点(1，2)代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。

[答案]A

5. 一、选择题

1.从点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²+y²-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.　

解 方法一　 如图所示，设l与x轴交于点B(b,0)，

则k_AB=,根据光的反射定律，

反射光线的斜率k_反=.　

∴反射光线所在直线的方程为　y=(x-b),　即3x-(b+3)y-3b=0.　

∵已知圆x²+y²-4x-4y+7=0的圆心为C(2,2)，　半径为1,　∴=1,解得b₁=-,b₂=1.　

∴k_AB=-或k_AB=-.　∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.　

∴y₂-y₁=4,故x=0满足题意.　∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.

方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为　y-5=kx,即y=kx+5,　

联立直线与圆的方程　消去y得(1+k²)x²+(4-2k)x-11=0　　 ①　

设方程①的两根为x₁,x₂,　由根与系数的关系得②　 4分　

由弦长公式得|x₁-x₂|=　

将②式代入，解得k=，　此时直线的方程为3x-4y+20=0.　 　

又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.　∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.　

(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),　则CD⊥PD，即·=0，　

(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x²+y²+2x-11y+30=0.

[三年高考]　 07、08、09 高考试题及其解析

　2009高考试题及解析

2.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O₁，O₂，半径分别为r₁，r₂，。；

；；

；；

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决

[试题演练]

[名师点睛]

1.直线与圆的位置关系有三种

(1)若，；(2)；(3)。

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：(1)当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点)，直线与圆相交；

(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点)，直线与圆相切；

(3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点)，直线与圆相离；

即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=rΔ＝0；相交d<rΔ>0；相离d>rΔ<0。

3．参数方程与普通方程

　我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的(间接)关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义．

　要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，

[试题演练]

请说明理由.　

解　 (1)依题意,可设动圆C的方程为　(x-a)²+(y-b)²=25,　

其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.　又∵动圆过点(-5,0),　故(-5-a)²+(0-b)²=25.

解方程组　可得或故所求圆C的方程为　

(x+10)²+y²=25或(x+5)²+(y-5)²=25.　

(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=.　

当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x²+y²=r²相外切的圆；　

当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x²+y²=r²相外切；　

当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x²+y²=r²相外切.

2．二元二次方程是圆方程的充要条件

　“A=C≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程表示圆的必要条件．

　二元二次方程表示圆的充要条件为“A=C≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．

3.已知点和圆C：，(1)求经过点P被圆C截得的线段最长的直线的方程；(2)过P点向圆C引割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹。

解：(1)化圆的方程为：　 圆心坐标：

　由题意可得直线经过圆C的圆心，由两点式方程得：

化简得：直线的方程是：

(2)解：设中点　 ∵CM⊥PM　 ∴是　 有：

　　 即： 　　化简得：

　　　 　故中点M的轨迹是圆在圆C内部的一段弧。

点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。要求掌握好平面几何的知识，如勾股[名师点睛](1)圆方程的三种形式

　标准式：，其中点(a，b)为圆心，r>0，r为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．

　一般式：，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D、E、F．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标(如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程)，则往往使用圆的一般方程求圆方程．

　参数式：以原点为圆心、r为半径的圆的参数方程是(其中θ为参数)．

　以(a，b)为圆心、r为半径的圆的参数方程为(θ为参数)，θ的几何意义是：以垂直于y轴的直线与圆的右交点A与圆心C的连线为始边、以C与动点P的连线为终边的旋转角，如图所示．

　三种形式的方程可以相互转化，其流程图为：

[名师点睛]轨迹问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法：

(1)单动点的轨迹问题--直接法+ 待定系数法；(2)双动点的轨迹问题--代入法；(3)多动点的轨迹问题--参数法　 + 交轨法。

[试题演练]

1已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.

解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.

设动圆圆心为M(x，y)，⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|.

∵AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|²=|MO|²+|AO|²=x²+y²+9，

而|MC|=|y+3|，∴=|y+3|.化简得x²=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.

点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系。

2.已知动圆过定点，且与直线相切.(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线，使过点(0，1)，并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，要求充分掌握圆锥曲线的定义，灵活应用。