这是处理复杂运动的一种重要方法。

1.定义：已知分运动的情况求合运动的情况，叫做运动的合成。

已知合运动的情况求分运动的情况，叫做运动的分解。

3.相互关系

　 ①运动的独立性：分运动之间是互不相干的，即各个分运动均按各自规律运动，彼此互不影响。因此在研究某个分运动的时候，就可以不考虑其他的分运动，就像其他分运动不存在一样。

　 ②运动的等时性：各个分运动及其合运动总是同时发生，同时结束，经历的时间相等；因此，若知道了某一分运动的时间，也就知道了其他分运动及合运动经历的时间；反之亦然。

　 ③运动的等效性：各分运动叠加起来的效果与合运动相同。

　 ④运动的相关性：分运动的性质决定合运动的性质和轨迹。

2.在一个具体问题中判断哪个是合运动，哪个是分运动的关键是弄清物体实际发生的运动是哪个，则这个运动就是合运动。物体实际发生的运动就是物体相对地面发生的运动，或者说是相对于地面上的观察者所发生的运动。

1.合运动与分运动定义：如果物体同时参与了两种运动，那么物体实际发生的运动叫做那两种运动的合运动，那两种运动叫做这个实际运动的分运动。

警示1：:注意“死节”和“活节”问题。

例19、如图33所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B ，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时，问：

①绳中的张力T为多少?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　

②A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力如何变化?

例20、如图34所示，AO、BO和CO三根绳子能承受的最大拉力相等，O为结点，OB与竖直方向夹角为θ，悬挂物质量为m。

求1OA、OB、OC三根绳子拉力的大小 。　　　　　　　　　　　　　　

②A点向上移动少许，重新平衡后，绳中张力如何变化？

分析与解：例19中因为是在绳中挂一个轻质挂钩，所以整个绳子处处张力相同。而在例20中，OA、OB、OC分别为三根不同的绳所以三根绳子的张力是不相同的。不少同学不注意到这一本质的区别而无法正确解答例19、例20。

对于例19分析轻质挂钩的受力如图35所示，由平衡条件可知，T₁、T₂合力与G等大反向，且T₁=T_2， 所以

T₁sin+T₂sin=T₃=G

即T₁=T₂= ，而 AO.cos+BO.cos= CD,所以 　　　　　　cos=0.8　 sin=0.6,T₁=T₂=10N

同样分析可知：A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力均保持不变。

而对于例20分析节点O的受力如图36所示，由平衡条件可知，T₁、T₂合力与G等大反向，但T₁不等于T₂，所以

T₁=T₂sin,　　　　 G=T₂cos

但A点向上移动少许，重新平衡后，绳OA、OB的张力均要发生变化。如果说绳的张力仍不变就错了。

警示2：注意“死杆”和“活杆”问题。

例21、 如图37所示，质量为m的物体用细绳OC悬挂在支架上的O点，轻杆OB可绕B点转动，求细绳OA中张力T大小和轻杆OB受力N大小。

例22、 如图38所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有小滑轮B，一轻绳一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg的重物，，则滑轮受到绳子作用力为：

A.50N

B.

C.100N

D.

分析与解：对于例21由于悬挂物体质量为m，绳OC拉力大小是mg，将重力沿杆和OA方向分解，可求.

对于例22若依照例21中方法，则绳子对滑轮，应选择D项；实际不然，由于杆AB不可转动，是死杆，杆所受弹力的方向不沿杆AB方向。由于B点处是滑轮，它只是改变绳中力的方向，并未改变力的大小，滑轮两侧绳上拉力大小均是100N，夹角为，故而滑轮受绳子作用力即是其合力，大小为100N，正确答案是C而不是D。

例18、电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量.某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图31所示，将相距为L的两根固定支柱A、B(图中小圆框表示支柱的横截面)垂直于金属绳水平放置，在AB的中点用一可动支柱C向上推动金属绳，使绳在垂直于AB的方向竖直向上发生一个偏移量，这时仪器测得绳对支柱C竖直向下的作用力为F.

(1)试用L、、F表示这时绳中的张力T.

(2)如果偏移量，作用力F=400NL=250，计算绳中张力的大小

分析与解：(1)设c′点受两边绳的张力为T₁和T₂，的夹角为θ，如图32所示。依对称性有：T₁=T₂=T　　 由力的合成有 ：　 F=2Tsinθ　 　

　　 根据几何关系有 sinθ=　

　　 联立上述二式解得　 T=　 ，因d<<L，故　 　　

　 (2)将d=10mm，F=400N，L=250mm代入，解得　 T=2.5×10³N ， 　即绳中的张力为2.5×10³N

在研究平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值的现象称为极值问题。求解极值问题有两种方法：

方法1：解析法。根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常用到数学知识有二次函数极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值等。

方法2：图解法。根据物体平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值。

例17、重量为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？

分析与解：木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F斜向上，设当F斜向上与水平方向的夹角为α时，F的值最小。木块受力分析如图29所示，由平衡条件知：

　 Fcosα-μF_N=0,　 Fsinα+F_N-G=0

解上述二式得：。

令tanφ=μ,则,

可得：

可见当时，F有最小值，即。

用图解法分析：由于F_f=μF_N,故不论F_N如何改变，F_f与F_N的合力F₁的方向都不会发生改变，如图30所示，合力F₁与竖直方向的夹角一定为，可见F₁、F和G三力平衡，应构成一个封闭三角形，当改变F与水平方向夹角时，F和F₁的大小都会发生改变，且F与F₁方向垂直时F的值最小。由几何关系知：。

物理系统由于某些原因而发生突变时所处的状态，叫临界状态。临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。平衡物体的临界问题的求解方法一般是采用假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。

例15、(2004年江苏高考试题)如图25所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小。

(1)将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图25)．在-两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M=m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M．设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离．

(2)若不挂重物M．小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态?　

分析与解：(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为，由机械能守恒定律得:

解得　 ，(另解h=0舍去)

(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为:

a．两小环同时位于大圆环的底端．

b．两小环同时位于大圆环的顶端．

c．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端．

d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧角的位置上(如图26所示)．对于重物，受绳子拉力与重力作用，有:

　 对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力、竖直绳子的拉力、大圆环的支持力.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反

　 得,而，所以 。

例16、如图27所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60⁰的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。

分析与解：作出A受力图如图28所示，由平衡条件有：

F.cosθ-F₂-F₁cosθ=0,

　　　 Fsinθ+F₁sinθ-mg=0

要使两绳都能绷直，则有：F₁

由以上各式可解得F的取值范围为：。

当系统有多个物体时，选取研究对象一般先整体考虑，若不能解答问题时，再隔离考虑。

例13、如图21所示，三角形劈块放在粗糙的水平面上，劈块上放一个质量为m的物块，物块和劈块均处于静止状态，则粗糙水平面对三角形劈块：

A．有摩擦力作用，方向向左；

B．有摩擦力作用，方向向右；

C．没有摩擦力作用； D．条件不足，无法判定．

分析与解：此题用“整体法”分析．因为物块和劈块均处于静止状态，因此把物块和劈块看作是一个整体，由于劈块对地面无相对运动趋势，故没有摩擦力存在．(试讨论当物块加速下滑和加速上滑时地面与劈块之间的摩擦力情况？)

例14、如图22所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ。质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？

分析与解：选取A和B整体为研究对象，它受到重力(M+m)g,地面支持力N，墙壁的弹力F和地面的摩擦力f的作用(如图23所示)而处于平衡状态。根据平衡条件有：

N-(M+m)g=0,F=f,可得N=(M+m)g

再以B为研究对象，它受到重力mg，三棱柱对它的支持力N_B,墙壁对它的弹力F的作用(如图24所示)。而处于平衡状态，根据平衡条件有：

N_B.cosθ=mg,　　 N_B.sinθ=F,解得F=mgtanθ.

所以f=F=mgtanθ.

根据平衡条件并结合力的合成或分解的方法，把三个平衡力转化成三角形的三条边，然后通过这个三角形求解各力的大小及变化。

例12、如图19所示，保持不变，将B点向上移，则BO绳的拉力将：

A. 逐渐减小

B. 逐渐增大

C.先减小后增大

D.先增大后减小

分析与解：结点O在三个力作用下平衡，受力如图20甲所示，根据平衡条件可知，这三个力必构成一个闭合的三角形，如图20乙所示，由题意知，OC绳的拉力大小和方向都不变，OA绳的拉力方向不变，只有OB绳的拉力大小和方向都在变化，变化情况如图20丙所示，则只有当时，OB绳的拉力最小，故C选项正确。