2. 若复数(,为虚数单位)是纯虚数,则实数的值为( )
A.-6 B.13 C. D.
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1. 如右所示的韦恩图中,设S为全集,A,B 是两个不相等的非空集合,
则下列结论中一定正确的是 ( )
A. B. C. D.
17. 如右图,E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 .(要求:把可能的图的序号都填上)
讲解 因为正方体是对称的几何体,所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为:上下、左右、前后三个方向的射影,也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同,如图2所示;
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内,它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段,如图3所示. 故应填23.
18 直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.
讲解 由消去y,化简得
设此方程二根为,所截线段的中点坐标为,则
故 应填 .
19 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是_____________________.
讲解 记椭圆的二焦点为,有
则知 [来源:]
显然当,即点P位于椭圆的短轴的顶点处时,m取得最大值25.
故应填或
20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是,在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的取值范围是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知,大圆的圆心在y轴上,并且圆与抛物线切于抛物线的顶点,从而可设大圆的方程为
由
消去x,得 (*)
解出 或
要使(*)式有且只有一个实数根,只要且只需要即
再结合半径,故应填
16. 若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积是 (只需写出一个可能的值).
讲解 本题是一道很好的开放题,解题的开窍点是:每个面的三条棱是怎样构造的,依据“三角形中两边之和大于第三边”,就可否定{1,1,2},从而得出{1,1,1},{1,2,2},{2,2,2}三种形态,再由这三类面构造满足题设条件的四面体,最后计算出这三个四面体的体积分别为: , ,,故应填.、 、 中的一个即可.
15. 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上,这个球的表面积是________.
讲解 长方体的对角线就是外接球的直径, 即有
从而 ,故应填
14. 的展开式中的系数是
讲解 由知,所求系数应为的x项的系数与项的系数的和,即有
故应填1008.
13.某商场开展促销活动,设计一种对奖券,号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数,偶位数字均为偶数时,为中奖号码,则中奖面(即中奖号码占全部号码的百分比)为 .
讲解 中奖号码的排列方法是: 奇位数字上排不同的奇数有种方法,偶位数字上排偶数的方法有,从而中奖号码共有种,于是中奖面为
故应填
12.以下四个命题:
①
②
③凸n边形内角和为 ④凸n边形对角线的条数是
其中满足“假设时命题成立,则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当(是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是 .
讲解 ①当n=3时,,不等式成立;
② 当n=1时,,但假设n=k时等式成立,则
;
③ ,但假设成立,则
④ ,假设成立,则
故应填②③.
11.列中, , 则
讲解 分类求和,得
,故应填.
10. 已知是公差不为零的等差数列,如果是的前n项和,那么
讲解 特别取,有,于是有
故应填2.
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