1.对于万有引力定律的表达式F＝G，下列说法正确的是(　)

A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的

B.当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大

C.m₁与m₂受到的引力总是大小相等的，而与m₁和m₂是否相等无关

D.m₁与m₂受到的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力

答案：AC

6.2006年8月15日的国际天文学联合会(IAU)上定义了行星的新标准，冥王星被排除在行星之外而降为“矮行星”.另外，根据新标准，从理论上可分析出：如果地球和月亮还能继续存在几十亿年，月亮有可能成为行星.由于两者之间潮汐力的作用，月亮与地球的距离每年增加约3.75 cm，地球和月亮的共同质心(地球和月亮作为独立双星系统相互环绕的中心)转移到地球之外，到那时月亮就可能成为行星了.已知地球质量M＝5.97×10²⁴ kg，地球半径R＝6.37×10⁶ m，月球的质量m＝7.36×10²² kg，月地中心距离L＝3.84×10⁸ m，按上述理论估算月亮还需经多少年才可能成为行星？(结果保留两位有效数字)

解析：设当月地距离为L′时，月地的共同质心距地球中心距离r₁＝6.37×10⁶ m，即恰好移到地球之外，由向心力公式及万有引力定律得：

G＝Mωr₁

G＝mω(L′－r₁)

对于双星系统有：ω₁＝ω₂

解得：L′＝5.23×10⁸ m

由题意知到那时还需经过的时间为：

t＝年＝3.7×10⁹年.

答案：3.7×10⁹年

金典练习十　万有引力定律及其应用

选择题部分共10小题，每小题6分.在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确.

5.一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星的轨道离地面的高度为2R(R为地球半径)，已知地球表面重力加速度为g，则该卫星的运行周期是多大？若卫星的运动方向与地球自转方向相同，地球自转角速度为ω₀，某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则至少经过多长时间它再次通过该建筑物的正上方？

解析：设地球的质量为M，人造卫星的质量为m，引力提供向心力，有：

G＝mr()²

其中r＝h+R＝3R

又G＝mg

联立解得：T＝6π

设经过时间t，卫星再次通过该建筑物正上方，则有：

ω₀t+2π＝·t

解得：t＝.

答案：6π　

4.用m表示地球通讯卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度，ω表示地球的自转角速度，则通讯卫星所受万有引力的大小是(　)

A.0　　　　B.

C.mω²(R+h)　 D.

解析：①由万有引力定律F＝G

又因为g＝

可得：F＝

②由万有引力等于向心力，有：F＝mω²(R+h).

答案：BC

3.我国和欧盟合作的建国以来最大的国际科技合作计划--伽利略计划将进入全面实施阶段，正式启动伽利略卫星导航定位系统计划.据悉，伽利略卫星定位系统将由30颗轨道卫星组成，卫星的轨道高度为2.4×10⁴ km，分布在三个轨道上，每个轨道上部署9颗工作卫星和1颗在轨备用卫星，当某颗工作卫星出现故障时可及时顶替工作.若某颗替补卫星处于略低于工作卫星的轨道上，则这颗卫星的周期和速度与工作卫星相比较，以下说法中正确的是(　)

A.替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度

B.替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度

C.替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度

D.替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度

解析：由G＝m＝mr可知，

与工作卫星相比，替补卫星的周期略小，速度略大.

答案：B

2.在2007年初，欧洲天文学家在太阳系之外发现了一颗新行星，命名为“格利斯581c”.该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的1.5倍.设想在该行星表面附近绕行星沿圆轨道运行的人造卫星的动能为E_k1，在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的相同质量的人造卫星的动能为E_k2，则为(　)

A.0.13　 B.0.3　 C.3.33　 D.7.5

解析：对于在星球表面附近做圆周运动的卫星，有：

G＝，即动能E_k＝mv²＝

故＝×＝.

答案：C

1.常用的通讯卫星是地球同步卫星，它定位于地球赤道正上方.已知某同步卫星离地面的高度为h，地球自转的角速度为ω，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，该同步卫星运动的加速度的大小为(　)

A.0　　B.g　　C.ω²h　　D.ω²(R+h)

解析：同步卫星的加速度等于其做圆周运动的向心加速度，故g′＝G＝＝ω²(R+h).

答案：D

6.一飞船在某星球表面附近，受星球引力作用而绕其做匀速圆周运动的速率为v₁，飞船在离该星球表面高度为h处，受星球引力作用而绕其做匀速圆周运动的速率为v₂，已知引力常量为G.

(1)求该星球的质量.

(2)若设该星球的质量为M，一个质量为m的物体在离该星球球心r远处具有的引力势能为E_p＝－，则一颗质量为m的卫星由r₁轨道变为r₂(r₁＜r₂)轨道，对卫星至少做多少功？(卫星在r₁、r₂轨道上做匀速圆周运动，结果请用M、m、r₁、r₂、G表示)

解析：(1)设星球的半径为R，质量为M，由万有引力定律及向心力分公式得：

G＝m

G＝m

联立解得：M＝.

(2)卫星在轨道上的机械能E＝E_k+E_p＝－G

故有W＝E₂－E₁＝GMm().

答案：(1)　(2)GMm()

第22讲　万有引力定律及其应用Ⅱ

体验成功

5.某同学在学习中记录了一些与地球、月球有关的数据资料，如表所示.利用这些数据来计算地球表面与月球表面间的距离s，则下列结果中正确的是(　)

A.　 B.－R－r

C.－R－r　 D.－R－r

解析：由光的传播特点知，s＝，A正确；月球绕地球旋转的线速度v与激光传播的时间无关，B错误；月球表面处的重力加速度g′＝G，与其绕地旋转的线速度无关，C错误；由G＝m(S+R+r)，GM＝g₀R²，可得s＝－R－r，D正确.

答案：AD

4.一飞船在某行星表面附近沿圆形轨道绕该行星飞行，假设行星是质量分布均匀的球体.要确定该行星的密度，只需要测量(　)

A.飞船的轨道半径　 B.飞船的运行速度

C.飞船的运行周期　 D.行星的质量

解析：因为F_向＝m()²r＝G

其中M＝πr³·ρ

可得：ρ＝.

答案：C