59．用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A、B两物块都以v = 6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4 kg的物体C静止在前方，如图所示，B与C碰撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中，

　 (1)当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？

　 (2)弹性势能的最大值是多大？

　 (3)A的速度有可能向左吗？为什么？

　 答案：(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，有(m_A + m_B)v =(m_A + m_B + m_C)v_A

　　　 解得v_A == 3(m/s)

　 (2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为，

　　　 则m_Bv = (m_B + m_c)，=(m/s)

　　　 设物块A速度为v_A时弹簧的弹性势能最大为E_p，根据能量守恒

E_p = × 6²

(J)

　 (3)由系统动量守恒得

　　　 m_Av + m_Bv = m_Av_A + (m_B + m_C) v_B

　　　 设A的速度方向向左，v_A < 0，则m_B > 4 m/s

　　　 则作用后A、B、C动能之和

　　　 E_k =

　　　 实际上系统的机械能

　　　 根据能量守恒定律，E_k >是不可能的。故A不可能向左运动。

58．如图所示，AB是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为h，末端B处的切线方向水平，一个质量为m的物体P从轨道顶端A处由静止释放，滑到B端后飞出，然后落到地面的C点，其轨迹如图中虚线BC所示。已知它落地时相对于B点的水平位移OC = l。现在轨道下方紧贴B点安装一水平传送带，传送带的右端与B的距离为。当传送带静止时，让物体P再次从A点静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端水平飞出，仍然落到地面的C点。当驱动轮转动带动传送带以速度v匀速向右运动(其他条件不变)，物体P的落地点为D，问传送带速度v的大小满足什么条件时，OD间的距离s有最小值？这个最小值为多少？

　 答案：物体P从轨道底端或从传送带右端滑出均做平抛运动。因为两个端点离地面的高度相等，所以平抛运动的水平射程与初速度成正比，即

　　　 由题意可知，l₂ =，v₁ =，故得v₂ =

　　　 物体P在传送带上滑动时，滑动摩擦力做负功，由动能定理得

　　　 进而解得

　　　 当传送带向右运动时，要使小物体的水平射程最小，必须使它到达传送带右端时速度最小，这就要求P在传送带上一直做减速运动，那么传送带的速度只要小于或等于前面所计算的P在静止的传送带上滑至右端的速度v₂。这样，物体P离开传送带的速度为v₂，即传送带的速度v≤时，OD间的距离最小为s_min = l。

57．如图所示。1、2两木块用短钩相连，放在水平地面上。1和2两木块的质量分别是m₁ = 1.0 kg和m₂ = 2.0 kg。它们与水平地面间的动摩擦因数均为= 0.10。在t = 0秒时开始用向右的水平恒力F = 6.0 N拉木块2。过一段时间后短钩脱开，到t = 6.0 s时1、2两木块相距s = 4.0 m，木块1早已停住。求此时木块2的速度。

　 答案：设脱钩的时刻为t₁，此时两木块的速度为v₁，由动量定理得

　　　 Ft₁ –(m₁ + m₂) gt₁ = (m₁ + m₂) v₁　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 脱勾后，由于摩擦力作用，木块1在水平地面上滑动了s₁后停住，由动能定理得　　　　　　　　　　 ②

　　　 木块2从脱钩到t = 6.0 s所经过的时间为t₂ = (t – t₁)，设在此时间段内，木块2滑行的距离为s₂，在t = 0.6 s时刻的速度为v₂，由动能定理得

　　　 　　　　　　　　 ③

　　　 由动量定理得　　　　　　　

　　　 m₂v₂ – m₂v₁ = (F –)(t – t₁)　　　　　　　　 ④

　　　 由题目所给条件得s₂ – s₁ = s　　　　　　　　　　 ⑤

　　　 解① ~ ⑤式得v₂ = 8.0 m/s

56．如图所示，平板小车M的质量为2 kg，放在足够长的光滑水平面上，质量为0.5 kg的小物块m(可视为质点)放在小车的右端，物块m与小车M间的动摩擦因数为0.2，开始时m、M均静止，当用大小为6 N的水平力F作用在小车上时，m、M立即发生相对滑动，水平力F作用0.5 s后撤去，g取10 m/s²。求：

　 (1)当力F作用在小车上时，小车的加速为多大？

　 (2)当物块m的速度为1.1 m/s时，小车M的速度为多大？

　 (3)设小车长为0.5 m，则m是否会滑离M？若m会滑离M，求滑离时两者的速度；若m不会滑离M，求m最终在小车上的位置(以m离M右端的距离表示)。

　答案：(1)对M : F –mg = Ma₁，得

　　　 a₁ == 2.5 m/s²

　 (2)对m : a₂ =g = 2 m/s²

　　　 撤去F时，对M : v₁ = a₁t = 1.25 m/s

　　　 对m有v₂ = a₂t = 1 m/s

　　　 撤去F后，系统动量守恒Mv₁ + mv₂ =且= 1.1 m/s

　　　 得= 1.225 m/s

　 (3)在力F作用下的0.5 s内，M位移

　　　 s₁ =

　　　 m位移s₂ =

　　　 相对位移m = 0.062 5 m

　　　 假设m不会离开M，撤去F后，二者达共同速度v，则

　　　 Mv₁ + mv₂ = (M + m) v得v = 1.2 m/s

　　　 设这一过程相对位移为，则

　　　 ∴m = 0.012 5 m

∴= 0.75 m < L = 0.5 m

∴m不会离开M，最终m在距离M右端0.075 m处与M一起匀速运动。

55．如图在水平圆盘上有一过圆心的光滑小槽，槽内有两根原长、劲度系数均相同的橡皮绳拉住一质量为m的小球，其中O点为圆盘的中心，点为圆盘的边缘，O₁为小球。橡皮绳的劲度系数为k，原长为圆盘半径R 的。现使圆盘角速度由零缓慢增大，求圆盘的角速度与时，小球所对应的线速度之比v₁ : v₂ = ?

　 答案：当橡皮绳OO₁被拉伸而刚好被拉直时，设小球做匀速圆周运动角速度为。

　　　 由牛顿第二定律有，

　　　 。

　　　 当<时，橡皮绳被拉伸，

　　　 得R₁ =

　　　 当>时，此时橡皮绳处于松驰状态

　　　 ，得R₂ =

　　　 所以v₁ : v₂ =

54．如图所示，在水平方向的磁感应强度为B₀的匀强磁场中竖直放置两宽度为L的平行导轨，磁场方向与导轨所在平面垂直。导轨上端跨接一阻值为R的电阻，导轨电阻不计。两金属棒a和b的电阻都为R，质量分别为m_a = 20 g和m_b = 10 g，它们与导轨相连，并可沿导轨无摩擦地滑动。闭合开关S，先固定b，用一恒力F向上拉a，稳定后，a以v₁ = 10 m/s的速度匀速运动，此时再释放b，b正好能保持静止，g = 10 m/s²，导轨足够长。

　 (1)求拉力F的大小；

　 (2)若固定金属棒a，让金属棒b自由下滑(开关仍闭合)，b滑行的最大速度v₂为多大？

　 (3)若断开开关，将金属棒a和b都固定，使磁感应强度从B₀随时间均匀增加，经0.1 s后磁感应强度增加到2B₀时，a棒受安培力正好等于a棒的重力，求两棒间的距离h。

　 答案：(1)a杆切割磁感线相当于电源，电阻R与b杆并联

　　　 对a杆有：F = m_ag + B₀I_aL　　　　　　　　　　　 ①

　　　 对b杆有：m_bg =B₀I_aL　　　　　　　　　　　　　 ②

　　　 联立①②得F = 0.4 N　　　　　　　　　　　　

　 (2)当a以v₁匀速上升时

　　　 E_a = B₀Lv₁ ③

　　　 I_a =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

　　　 联立②③④得v₁ =

　　　 当b匀速运动时E_b = B₀Lv₂　　　　　　　　　　　 ⑤

　　　 I_b =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

　　　 B₀I_bL = m_bg　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

　　　 联立⑤⑥⑦得v₂ =

　　　 ∴v₂ =v₁ = 5 m/s

　 (3)此时感应电动势E =，其中t = 0.1 s　　　　　　　　　 ⑧

　　　 电路中电流I =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨

　　　 当B = 2B₀时，2B₀IL = m_ag　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑩

　　　 ∵v₁ =，∴联立⑧⑨⑩得h =

53．如图，不计电阻的U形导轨水平放置，导轨宽l = 0.5 m，左端连接阻值为0.4Ω的电阻R，在导轨上垂直于导轨放一电阻为0.1Ω的导体棒MN，并用水平轻绳通过定滑轮吊着质量m = 2.4 g的重物，图中L = 0.8 m，开始重物与水平地面接触并处于静止，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，此时磁感应强度B₀ = 0.5 T,并且以0.1 T/s的变化率在增大，不计摩擦阻力，求至少经过多长时间才能将重物吊起？(g = 10 m/s²)

　 答案：以MN为研究对象，有BIl = T；以重物为研究对象，有T + N = mg。由于B在增大，安培力BIl增大，绳的拉力T增大，地面的支持力N减小，当N = 0，重物将被吊起。设将重物吊起需要的时间至少为t，此时BIl = mg，B = B₀ +

　　　 感应电动势E =

　　　 感应电流I =

　　　 由以上各式求出t = 1 s。

52．如图所示，足够长的U形导体框架的宽度L = 0.5 m，电阻忽略不计，其所在平面与水平面成角，磁感应强度B = 0.8 T的匀强磁场方向垂直于导体框平面，一根质量m = 0.2 kg，有效电阻R = 2Ω的导体棒MN垂直跨放在U形框架上，该导体棒与框架间的动摩擦因数= 0.5。导体棒由静止开始沿框架下滑到刚开始匀速运动，通过导体棒截面的电量共为Q = 2 C。求：

　 (1)导体棒匀速运动的速度；

　 (2)导体棒从开始下滑到刚开始匀速运动这一过程中，导体棒的有效电阻消耗的电功。(sin 37°= 0.6　 cos 37°= 0.8　 g = 10m/s²)

　 答案：(1)当导体棒匀速下滑时其受力情况如图：因为匀速下滑，设匀速下滑的速度为v，则：

　　　 平行斜面：mgsin– f – F = 0

　　　 垂直斜面：N – mgcos= 0

　　　 其中：f =N

　　　 安培力：F = BIL

　　　 电流强度I =

　　　 感应电动势= BLv

　　　 由以上各式得：v =

　 (2)通过导体的电量

　　　 其中平均电流

　　　 设物体下滑位移为s，则

　　　 由以上各式得s =

　　　 全程由动能定得：

　　　 mgs · sin– W_安 –mgcos· s =

　　　 其中克服安培力做功W_安等于导体棒的有效电阻消耗的电功W

　　　 则W = mgs · sin–mgcos· s == (12 – 8 – 2.5) J = 1.5 J

51．如右图所示的空间，存在着正交的匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向竖直向下，场强为E，匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度为B。有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动(两小球间的库仑力可忽略)，运动轨迹如图。已知两个带电小球A和B的质量关系为m_A = 3m_B，轨道半径为R_A = 3R_B = 9cm。

　 (1)试说明小球A和B分别带什么电，并求出它们所带的电荷量之比；

　 (2)指出小球A和B的绕行方向，并求出它们的绕行速率之比；

　 (3)设带电小球A和B在图示位置P处相碰撞，且碰撞后原先在小圆轨道上运动的带电小球B恰好能沿大圆轨道运动，求带电小球A碰撞后做圆周运动的轨道半径(设碰撞时两个带电小球间电荷量不发生转移)。

　 答案：(1)因为两带电小球都在复合场中做匀速圆周运动，故必有qE = mg，由电场方向可知，两小球都带负电荷

　　　 因为m_Ag = q_AE　 m_Bg = q_BE　 m_A = 3m_B，所以=

　 (2)由题意可知，两带电小球的绕行方向都相同，为逆时针

　　　 由q_Bv =得R =，由题意R_A = 3R_B，所以=

　 (3)由于两带电小球在P处相碰，切向合外力为零，故两带电小球在该处的切向运量定恒。

　　　 当m_Av_A + m_Bv_B =+，= v_A = 3v_B，得

　　　 所以

50．如右图，在x轴上方有磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。x轴下方有磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电量为– q的带电粒子(不计重力)，从x轴上的O点以速度v₀垂直x轴向上射出。求：

　(1)射出之后经多长时间粒子第二次到达x轴；

　 (2)粒子第二次到达x轴时离O点的距离。

　 答案：(1)粒子运动轨迹示意图如下图所示。

　　　 由牛顿第二定律得qv₀B = m　　　　 ①

又T =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

依题意知B₁ = B，B₂ =　　　　　　　　 ③

由①③得T₁ =，T₂ =

粒子第二次到达x轴所需时间

t =

　 (2)由①式可知r₁ =，r₂ =

　　　 粒子第二次到达x轴时离O点的距离

　　　 s = 2r₁ + 2r₂ =