1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即

6.(2006年高考辽宁卷)已知 的三内角 所对边的长分别为 设向量 , ,若 ,则角 的大小为

(A) 　 　　　　(B) 　　　 　　(C) 　　　　　　(D)

§8.2平面向量与代数、几何的综合应用

5. 、 是单位向量， 的夹角为 ，以 、 为邻边作平行四边形。求平行四边形对角线的长。

4. 从点 沿向量 方向取线段AB，使 ，则B点坐标为　　

3. 将函数y= 4x－8的图象L按向量 平移到L^/，L^/的函数表达式为y= 4x，则向量 =　　 　

2.(2006年高考浙江卷)设向量 满足 , ,则 　

(A)1　 　　　　(B)2　　　　　　 (C)4　　　　　 (D)5

1. ，则有(　　 )

　　 A. 　　　　　B.

C. 　　　　　　D.

[例1] 和 = (3,－4)平行的单位向量是_________；

错解：因为 的模等于5，所以与 平行的单位向量就是 ，即 (，－)

错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。

正解：因为 的模等于5，所以与 平行的单位向量是 ，即(，－)或(－，)

点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和 = (3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。

[例2]已知A(2，1)，B(3，2)，C(-1，4)，若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。

错解：设D的坐标为(x，y)，则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐标为(-2，3)。

错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论。

正解：设D的坐标为(x，y)

当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的坐标为(-2，3)；

当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-(-1)，y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D的坐标为(6，-1)；

当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐标为(0，5)。

故第四个顶点D的坐标为(-2，3)或(6，-1)或(0，5)。

[例3]已知P₁(3,2)，P₂(8，3)，若点P在直线P₁P₂上，且满足|P₁P|=2|PP₂|，求点P的坐标。

错解：由|P₁P|=2|PP₂|得，点P 分P₁P₂所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P( )

错因：对于|P₁P|=2|PP₂|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P₁，P₂ 的内分点这一种情况，还有点P是 P₁，P₂的外分点。故须分情况讨论。

正解：当点P为 P₁，P₂ 的内分点时，P 分P₁P₂所成的比为2，此时解得P( )；

　　　 当点P为 P₁，P₂ 的外分点时，P 分P₁P₂所成的比为-2，此时解得P(13，4)。

　　　 则所求点P的坐标为( )或(13，4)。

点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。

[例4] 设向量 ， ， ，则“ ”是“ ”的

　 A.充分不必要条件　　　　　　　　 B.必要不充分条件

　 C.充要条件　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．

解：若 ，∵ ，则 ，代入坐标得： ，即 且 　_．消去 ，得 ；

反之，若 ，则 且 ，即

　 则 ，∴

　 故“ ”是“ 　”的充要条件．

答案：C

点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．

[例5]．已知 =(1，-1)， =(-1，3)， =(3，5)，求实数x、y，使 =x 　+y 　．

分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．

解：由题意有

　　 x 　+y 　=x(1，-1)+y(-1，3)=(x-y，-x+3y)．

　　 又 　=(3，5)

　　 ∴x-y=3且-x+3y=5

　　 解之得 x=7 且y=4

点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．

[例6]已知A(-1，2)，B(2，8)， = 　， = - ，求点C、D和向量 的坐标．

分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量 　 ， 　和 　关系进行坐标运算，用方程思想解之．

　解：设C、D的坐标为 、 ，由题意得

　 =( )， =(3，6)，　 =( )， =(-3，-6)

　 又 = 　， = -

　 ∴( )= (3，6)， ( )=- (-3，-6)

　 即 ( )=(1,2) ， ( )=(1,2)

　 ∴ 且 ， 且

　 ∴ 　且 　，且 　

　 ∴点C、D和向量 　的坐标分别为(0，4)、(-2，0)和(-2，-4)

小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．

5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。

4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；