3.求导公式

(c=0，(xⁿ=n·x^n－1(n∈N*).

2.导数的几何意义和物理意义

几何意义：曲线f(x)在某一点(x₀，y₀)处的导数是过点(x₀，y₀)的切线斜率.

物理意义：若物体运动方程是s=s(t)，在点P(i₀，s(t₀))处导数的意义是t=t₀处的瞬时速度.

1.用定义求函数的导数的步骤.

(1)求函数的改变量Δy；

(2)求平均变化率.

(3)取极限，得导数(x₀)=.

13.1　 导数的概念与运算

●知识梳理

4.理解函数极大(小)值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大(小)值.

●复习方略指南

在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.

课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.

从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.

3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.

2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.

1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.

2.数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视.只要与自然数有关，都可考虑数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些.

拓展题例

[例1] 是否存在正整数m，使得f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.

解：由f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9，得f(1)=36， f(2)=3×36， f(3)=10×36， f(4)=

34×36，由此猜想m=36.

下面用数学归纳法证明：

(1)当n=1时，显然成立.

(2)假设n=k时， f(k)能被36整除，即f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除;当n=k+1时，［2(k+1)+7］·3^k+1+9=3［(2k+7)·3^k+9］+18(3^k－1－1)，

由于3^k－1－1是2的倍数，故18(3^k－1－1)能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f(n)也能被36整除.

由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9能被36整除，m的最大值为36.

[例2] 如下图，设P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是曲线y=上的点列，Q₁，Q₂，Q₃， …，Q_n，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n－1Q_nP_n，…都是正三角形，设它们的边长为a₁，a₂，…，a_n，…，求证：a₁+a₂+…+a_n=n(n+1).

证明：(1)当n=1时，点P₁是直线y=x与曲线y=的交点，

∴可求出P₁(，).

∴a₁=|OP₁|=.而×1×2=，命题成立.

(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立，即a₁+a₂+…+a_k=k(k+1)，则点Q_k的坐标为(k(k+1)，0)，

∴直线Q_kP_k+1的方程为y=[x－k(k+1)].代入y=，解得P_k+1点的坐标为

∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=(k+1)·=(k+1).

∴a₁+a₂+…+a_k+a _k+1=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+2).

∴当n=k+1时，命题成立.

由(1)(2)可知，命题对所有正整数都成立.

评述：本题的关键是求出P_k+1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|Q_kP _k+1|.

1.数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视.