4.曲线y=2x²+1在P(－1，3)处的切线方程是________________.

解析：点P(－1，3)在曲线上，k=(－1)=－4，y－3=－4(x+1)，4x+y+1=0.

答案：4x+y+1=0

3.函数f(x)=ax³+3x²+2，若(－1)=4，则a的值等于________.

解析： (x)=3ax²+6x，从而使3a－6=4，∴a=.

答案：

2.曲线y=f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线方程为3x+y+3=0，则

A. (x₀)>0　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B. (x₀)<0

C. (x₀)=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D. (x₀)不存在

解析：由题知(x₀)=－3.

答案：B

1.函数f(x)=(x+1)(x²－x+1)的导数是

A.x²－x+1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(x+1)(2x－1)

C.3x² D.3x²+1

解析：∵f(x)=x³+1，

∴(x)=3x².

答案：C

5.设函数f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)(a、b、c是两两不等的常数)，则++=________.

解析：∵f(x)=x³－(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)x－abc，

∴(x)=3x²－2(a+b+c)x+ab+bc+ca.

又(a)=(a－b)(a－c)，同理(b)=(b－a)(b－c)，

(c)=(c－a)(c－b).

代入原式中得值为0.

答案：0

●典例剖析

[例1] (1)设a＞0，f(x)=ax²+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x₀，f(x₀))处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为

A.［0，］　　　　 B.［0，］　　　　　　　 C.［0，||］　　　　　　 D.［0，||］

(2)(2004年全国，3)曲线y=x³－3x²+1在点(1，－1)处的切线方程为

A.y=3x－4　　　　　　 B.y=－3x+2　　　　　　　　 C.y=－4x+3 　　　　　　　　 D.y=4x－5

(3)(2004年重庆，15)已知曲线y=x³+，则过点P(2，4)的切线方程是______.

(4)(2004年湖南，13)过点P(－1，2)且与曲线y=3x²－4x+2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程是______.

剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.

解析：(1)∵过P(x₀，f(x₀))的切线的倾斜角的取值范围是［0，］，

∴P到曲线y=f(x)对称轴x=－的距离d=x₀－(－)=x₀+.

又∵(x₀)=2ax₀+b∈［0，1］，

∴x₀∈［，］.∴d=x₀+∈［0，］.

(2)∵点(1，－1)在曲线上，y′=3x²－6x，

∴切线斜率为3×1²－6×1=－3.

∴所求切线方程为y+1=－3(x－1).

(3)∵P(2，4)在y=x³+上，

又y′=x²，∴斜率k=2²=4.

∴所求直线方程为y－4=4(x－2)，4x－y－4=0.

(4)y′=6x－4，∴切线斜率为6×1－4=2.

∴所求直线方程为y－2=2(x+1)，即2x－y+4=0.

答案：(1)B　 (2)B　 (3)4x－y－4=0　 (4)2x－y+4=0

评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用.

思考讨论

导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?

答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.

[例2] 曲线y=x³在点(3，27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?

剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.

解：曲线在点(3，27)处切线的方程为y=27x－54，此直线与x轴、y轴交点分别为(2，0)和(0，－54)，

∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S=×2×54=54.

评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.

[例3] 已知曲线C：y=x³－3x²+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点(x₀，y₀)(x₀≠0)，求直线l的方程及切点坐标.

剖析：切点(x₀，y₀)既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.

解：∵直线过原点，则k=(x₀≠1).

由点(x₀，y₀)在曲线C上，则y₀=x₀³－3x₀²+2x₀，

∴=x₀²－3x₀+2.

又y′=3x²－6x+2，

∴在(x₀，y₀)处曲线C的切线斜率应为k=(x₀)=3x₀²－6x₀+2.

∴x₀²－3x₀+2=3x₀²－6x₀+2.

整理得2x₀²－3x₀=0.

解得x₀=(∵x₀≠0).

这时，y₀=－，k=－.

因此，直线l的方程为y=－x，切点坐标是(，－).

评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.

[例4] 证明：过抛物线y=a(x－x₁)·(x－x₂)(a≠0，x₁<x₂)上两点A(x₁，0)、B(x₂，0)的切线，与x轴所成的锐角相等.

剖析：利用与x轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可.

解：y′=2ax－a(x₁+x₂)，

y′|=a(x₁－x₂)，即k_A=a(x₁－x₂)，y′|=a(x₂－x₁)，即k_B=a(x₂－x₁).

设两条切线与x轴所成的锐角为、β，则tan=|k_A|=|a(x₁－x₂)|，

tanβ=|k_B|=|a(x₂－x₁)|，故tan=tanβ.

又、β是锐角，则=β.

评述：由tan=tanβ不能直接得=β，还必须有、β为锐角时(或在同一单调区间上时)才能得=β.

●闯关训练

夯实基础

4.若抛物线y=x²－x+c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________.

解析：∵y′=2x－1，∴y′|_x=－2=－5.

又P(－2，6+c)，∴=－5.

∴c=4.

答案：4

3.如果质点A按规律s=2t³运动，则在t=3 s时的瞬时速度为

A.6　　　　　　 　　　　 B.18　　　　　　　　 C.54　　　　　　 　　　　 D.81

解析：∵s′=6t²，∴s′|_t=3=54.

答案：C

2.对任意x，有(x)=4x³，f(1)=－1，则此函数为

A.f(x)=x⁴－2　　　　　　　 　　　　　　　　　　 B.f(x)=x⁴+2

C.f(x)=x³　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 D.f(x)=－x⁴

解析：筛选法.

答案：A

1.若函数f(x)=2x²－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1+Δx，1+Δy)，则等于

A.4　　　　　　　　 B.4x　　　　　　　　　　　　　　 C.4+2Δx　　　　　　 D.4+2Δx²

解析：Δy=2(1+Δx)²－1－1=2Δx²+4Δx，=4+2Δx.

答案：C

4.运算法则

如果f(x)、g(x)有导数，那么［f(x)±g(x)=(x)±g′(x)，［c·f(x)=

c(x).

●点击双基