4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.

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教学点睛

3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.

2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.

1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合(数集、点集或某类图形)，然后确定处理此类问题的方法.

9.若B={x|x²－3x+2＜0}，是否存在实数a，使A={x|x²－(a+a²)x+a³＜0}且A∩B=A？请说明你的理由.

解：∵B={x|1＜x＜2}，若存在实数a，使A∩B=A，则A={x|(x－a)(x－a²)＜0}.

(1)若a=a²，即a=0或a=1时，此时A={x|(x－a)²＜0}=，满足A∩B=A，∴a=0或a=1.

(2)若a²＞a，即a＞1或a＜0时，A={x|0＜x＜a²}，要使A∩B=A，则1≤

a≤，∴1＜a≤.

(3)若a²＜a，即0＜a＜1时，A={x|a＜x＜a²}，要使A∩B=A，则1≤a≤2，∴a∈.

综上所述，当1≤a≤或a=0时满足A∩B=A，即存在实数a，使A={x|x²－(a+a²)x+

a³＜0}且A∩B=A成立.

●思悟小结

8.已知P={(x，y)|(x+2)²+(y－3)²≤4}，Q={(x，y)|(x+1)²+(y－m)²＜}，且P∩Q=Q，求m的取值范围.

解：点集P表示平面上以O₁(－2，3)为圆心，2为半径的圆所围成的区域(包括圆周)；点集Q表示平面上以O₂(－1，m)为圆心，为半径的圆的内部.要使P∩Q＝Q，应使⊙O₂内含或内切于⊙O₁.故有｜O₁O₂｜²≤(R₁－R₂)²，即(－1+2)²+(m－3)²≤(2－)².解得3－≤m≤3+.

评述：本题选题目的是：熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题.

探究创新

7.已知A={x∈R|x²+2x+p=0}且A∩{x∈R|x＞0}=，求实数p的取值范围.

解：∵A∩{x∈R|x＞0}=，

∴(1)若A=，则Δ=4－4p＜0，得p＞1；

(2)若A≠，则A={x|x≤0}，

即方程x²+2x+p=0的根都小于或等于0.

设两根为x₁、x₂，则

　 ∴0≤p≤1.

综上所述，p≥0.

6.(2005年春季北京，15)记函数f(x)=log₂(2x－3)的定义域为集合M，函数g(x)= 的定义域为集合N.求：

(1)集合M、N；

(2)集合M∩N、M∪N.

解：(1)M={x|2x－3＞0}={x|x＞}；

N={x|(x－3)(x－1)≥0}={x|x≥3或x≤1}.

(2)M∩N={x|x≥3}；

M∪N={x|x≤1或x＞}.

培养能力

5.(2004年全国Ⅰ，理6)设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是

A.(_IA)∪B=I　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(_IA)∪(_IB)=I

C.A∩(_IB)=　　　　　　　　　　　　　　 D.(_IA)∩(_IB)=_IB

解析一：∵A、B、I满足ABI，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A、C、D都是正确的.

解析二：设非空集合A、B、I分别为A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}且满足ABI.根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的.

答案：B

4.已知集合A={x∈R|ax²+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则a的值为__________________.

解析：若a=0，则x=－.

若a≠0，Δ=4－4a=0，得a=1.

答案：a=0或a=1