3.三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为__________.

解析：根据题意，两端的座位要空着，中间6个座位坐三个人，再空三个座位，这三个座位之间产生四个空，可以认为是坐后产生的空.故共有A种.这种执果索因的思考方法是处理排列、组合问题常用的方法.

答案：24

2.(2004年四川模拟题)在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有_____________.

解法一：1、2、3、4、5组成无重复五位数，大于23145且小于43521的有

(1)形如，后两位只能填5、4，

∴有1种数合要求.

(2)形如，第三位选4或5都满足要求，后两位任选都可.

∴符合要求的数有C·A=4种.

(3)形如，第二位选4或5，后三位任选，方法数为C·A=12种.

(4)形如，第二位开始，均可任选，方法数为A=24种.

(5)形如，第二位选1或2，后三位任选，方法数为C·A=12种.

同理形如，2A=4种，形如，1种.

∴合要求总数为(1+4+12)×2+24=58种.

解法二：可用类似方法算出小于43521的5位数个数与小于等于23145的五位数个数.两数之差即为小于43521且大于23145的五位数个数.

答案：58种

1.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有

A.A·A种　　　 　　 B.A·A种　　　　　　　 C.A·A种　　　　　　　 D.A－4A种

解析：正先排大人，有A种排法，再排小孩，有A种排法(插空法).故有A·A种不同的排法.

答案：A

5.若直线Ax+By=0的系数A、B可以从{0，2，3，4，5，6}中取不同的值.这些方程表示不同直线的条数是_____________.

解析：若A=0，表示直线y=0；

若B=0，表示直线x=0；

若A、B从集合中任取两个非零值有A种，

其中2x+4y=0与3x+6y=0，4x+2y=0与6x+3y=0，2x+3y=0与4x+6y=0，3x+2y=0与6x+4y=0同.

所以这些方程表示的直线条数为2+A－4=18.

答案：18

●典例剖析

[例1] 一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n(n≥1，n∈N^*)个车站，因而增加了58种车票(起迄站相同的车票视为相同的车票)，问原来这条铁路有几个车站?现在又有几个车站?

解：由题设A－A=58，

即n(2m－1+n)=58=2×29.

(1)若n=2，则2m－1+n=29，m=14；

(2)若n=29，则2m－1+n=2，m=－13，不合题意，舍去；

(3)若n=1，则2m－1+n=58，m=29；

(4)若n=58，则2m－1+n=1，m=－28，不合题意，舍去.

所以原有14个车站，现有16个车站；或者原有29个车站，现有30个车站.

[例2] 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax²+bx+c=0?其中有实数根的有几个？

剖析：(1)二次方程要求a不为0，故a只能在1、3、5、7中选，b、c没有限制.

(2)二次方程要有实根，需Δ=b²－4ac≥0，再对c分类讨论.

解：(1)a只能在1、3、5、7中选一个有A种，b、c可在余下的4个中任取2个，有A种.故可组成二次方程A·A=48个.

(2)方程要有实根，需Δ=b²－4ac≥0.

c=0，a、b可在1、3、5、7中任取2个，有A种；

c≠0，b只能取5、7，b取5时，a、c只能取1、3，共有A个；b取7时，a、c可取1、3或1、5，有2A个.故有实根的二次方程共有A+A+2A=18个.

[例3] 从0，1，2，3，4中取出不同的3个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字的和是多少？

解：1，2，3，4在个位上出现的次数相等，故(1+2+3+4)·AA=90.

评述：要考虑0不能作首位这个因素.

深化拓展

从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出不同的5个数字组成一个5位偶数.(1)有多少个这样的数？(2)所有这些5位数的个位数字的和是多少？

答案：(1)A+CC·A；

(2)(2+4+6+8)C·A.

●闯关训练

夯实基础

4.(2004年天津，文16)从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_____________个.(用数字作答)

解析：其中能被5整除的三位数末位必为0或5.①末位为0的三位数其首次两位从1~5的5个数中任取2个排列而成方法数为A=20，②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C种挑法，再挑十位，还有C种挑法，

∴合要求的数有C·C=16种.

∴共有20+16=36个合要求的数.

答案：36

评述：本题主要抓住能被5整除的三位数的特征(末位数为0，5)，还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制.

3.若S=A+A+A+A+…+A，则S的个位数字是

A.8　　　　　　　　　　　　　　　 B.5　　　　　　　　　　　　　　　 C.3　　　　　　　　　　　　　　　 D.0

解析：A=1，A=2，A=6，A=24，而A，A，…，A中个位数字均为0，从而S的个位数字是3.

答案：C

2.若2n个学生排成一排的排法数为x，这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x、y的关系为

A.x>y　　　　　　　　　　　　　 B.x<y　　　　　　　　　　　　　 C.x=y　　　　　　　　　　　　　 D.x=2y

解析：第一种排法数为A，第二种排法数为AA=A，从而x=y.

答案：C

1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为

A.A　　 　　　　　　　　　　 B.AA　 　　　　　　　　　 C.AA　 　　　　　　　　　 D.A

解析：按分步计数原理，第一步，将女生看成一个整体，则有A种方法；第二步，将女生排列，有A种排法.故总共有AA种排法.

答案：B

3.附有限制条件的排列

(1)对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置.

(2)对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：

元素在某一位置或元素不在某一位置；

元素相邻--捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；

元素不相邻--插空法；

比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.

(3)对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法--直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向--间接法.

●点击双基

2.排列数公式：从n个不同元素中任取m个元素的排列的个数A=n(n－1)(n－2)…(n－m+1).